Задача Кузнецов Интегралы 4-29

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_0^1 \frac{x^3+x}{x^4+1} dx$

Решение

$\int\limits_0^1 \frac{x^3+x}{x^4+1} dx = \int\limits_0^1 \frac{x^3}{x^4+1} dx + \int \frac{x}{x^4+1} dx =$

$= \frac{1}{4}\cdot \int\limits_0^1 \frac{1}{x^4+1} d\left(x^4+1\right) + \frac{1}{2}\cdot \int\limits_0^1 \frac{1}{x^4+1} d\left(x^2\right) =$

$= \frac{1}{4}\cdot \left. \ln{\left|x^4+1\right|}\right|_0^1 + \frac{1}{2}\cdot \left. \operatorname{arctg}{x^2}\right|_0^1 =$

$= \frac{1}{4}\cdot \ln{\left|1^4+1\right|} - \frac{1}{4}\cdot \ln{\left|0^4+1\right|} + \frac{1}{2}\cdot \operatorname{arctg}{1^2} - \frac{1}{2}\cdot \operatorname{arctg}{0^2} =$

$= \frac{1}{4}\cdot \ln{2} - \frac{1}{4}\cdot \ln{1} + \frac{1}{2}\cdot \operatorname{arctg}{1} - \frac{1}{2}\cdot \operatorname{arctg}{0} =$

$= \frac{\ln{2}}{4} + \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{4} = \frac{2\ln{2} + \pi}{8} = \frac{\ln{4} + \pi}{8}$