Задача Кузнецов Интегралы 4-3

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_0^1 \frac{4\operatorname{arctg}{x}-x}{1+x^2} dx$

Решение

$\int\limits_0^1 \frac{4\operatorname{arctg}{x}-x}{1+x^2} dx = 4\cdot \int\limits_0^1 \frac{\operatorname{arctg}{x}}{1+x^2} dx - \int\limits_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx =$

$= 4\cdot \int\limits_0^1 \operatorname{arctg}{x}\cdot d\left(\operatorname{arctg}{x}\right) - \frac{1}{2}\cdot \int\limits_0^1 \frac{d\left(1+x^2\right)}{1+x^2} =$

$= 4\cdot \left. \frac{1}{2}\operatorname{arctg}^{2}{x}\right|_0^1 - \frac{1}{2}\cdot \left.\ln{\left(1+x^2\right)}\right|_0^1 =$

$= 2\operatorname{arctg}^{2}{1}-2\operatorname{arctg}^{2}{0} - \frac{1}{2}\cdot\left(\ln{\left(1+1^2\right)}-\ln{\left(1+0^2\right)}\right) =$

$= 2\cdot \left(\frac{\pi}{4}\right)^2-2\cdot 0^2 - \frac{1}{2}\cdot\left(\ln{2}-\ln{1}\right) = \frac{\pi^2}{8} - \frac{1}{2}\cdot \ln{2} = \frac{\pi^2 - 4\cdot \ln{2}}{8}$