Задача Кузнецов Интегралы 4-31

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_2^9 \frac{x}{\sqrt[3]{x-1}} dx$

Решение

$\int\limits_2^9 \frac{x}{\sqrt[3]{x-1}} dx = \int\limits_2^9 \frac{x-1 + 1}{\sqrt[3]{x-1}} dx = \int\limits_2^9 \sqrt[3]{(x-1)^2} dx + \int\limits_2^9 \frac{1}{\sqrt[3]{x-1}} dx =$

$= \frac{3}{5}\cdot\left. \sqrt[3]{(x-1)^5}\right|_2^9 + \frac{3}{2}\cdot\left. \sqrt[3]{(x-1)^2}\right|_2^9 =$

$= \frac{3}{5}\cdot \sqrt[3]{(9-1)^5} - \frac{3}{5}\cdot \sqrt[3]{(2-1)^5} + \frac{3}{2}\cdot \sqrt[3]{(9-1)^2} - \frac{3}{2}\cdot \sqrt[3]{(2-1)^2} =$

$= \frac{3}{5}\cdot \sqrt[3]{8^5} - \frac{3}{5}\cdot \sqrt[3]{1^5} + \frac{3}{2}\cdot \sqrt[3]{8^2} - \frac{3}{2}\cdot \sqrt[3]{1^2} =$

$= \frac{3}{5}\cdot 2^5 - \frac{3}{5} + \frac{3}{2}\cdot 2^2 - \frac{3}{2} = \frac{96}{5} - \frac{3}{5} + 6 - \frac{3}{2} =$

$= \frac{93}{5} + \frac{9}{2} = \frac{186}{10} + \frac{45}{10} = \frac{231}{10} = 23{,}1$