Задача Кузнецов Интегралы 5-1

Условие задачи

Вычислить неопределенный интеграл:

$\int \frac{x^3+1}{x^2-x} dx$

Решение

$\int \frac{x^3+1}{x^2-x} dx =$

Под интегралом неправильная дробь. Выделим целую часть:

$\begin{array}{ll} x^3+1&|\underline{x^2-x} \\ \underline{x^3-x^2}&x+1 \\ \qquad x^2+1& \\ \qquad \underline{x^2-x}& \\ \qquad \qquad x+1& \\ \end{array}$

Получаем:

$= \int \left(x+1 + \frac{x+1}{x^2-x} \right)dx = \int (x+1)dx + \int \frac{x+1}{x(x-1)}dx =$

Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

$\frac{x+1}{x(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} = \frac{A(x-1)+Bx}{x(x-1)} = \frac{(A+B)x-A}{x(x-1)}$

$\begin{cases} A+B = 1 \\ -A= 1\end{cases}$

$\begin{cases} B = 2 \\ A= -1\end{cases}$

$\frac{x+1}{x(x-1)} = -\frac{1}{x} + \frac{2}{x-1}$

Тогда получаем:

$= \int (x+1)dx + \int \left(-\frac{1}{x} + \frac{2}{x-1}\right)dx = \frac{x^2}{2} + x - \ln{|x|} + 2\ln{|x-1|} + C$