Задача Кузнецов Интегралы 5-19

Условие задачи

Вычислить неопределенный интеграл:

$\int \frac{-x^5+9x^3+4}{x^2+3x} dx$

Решение

$\int \frac{-x^5+9x^3+4}{x^2+3x} dx =$

Под интегралом неправильная дробь. Выделим целую часть:

$\begin{array}{ll} -x^5+9x^3+4&|\underline{x^2+3x} \\ \underline{-x^5-3x^4}&-x^3+3x^2 \\ \qquad 3x^4+9x^3+4& \\ \qquad \underline{3x^4+9x^3\qquad}& \\ \qquad \qquad \qquad \quad \; 4& \\ \end{array}$

Получаем:

$=\int \left(-x^3+3x^2\right) dx + \int \frac{4}{x^2+3x} dx =$

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов:

$\frac{4}{x^2+3x} = \frac{4}{x(x+3)} = \frac{A}{x}+\frac{B}{x+3}= \frac{A(x+3)+Bx}{x(x+3)} = \frac{(A+B)x+3A}{x(x+3)}$

$\begin{cases} A+B = 0 \\ 3A= 4 \end{cases}$

$\begin{cases} B = -\frac{4}{3} \\ A= \frac{4}{3} \end{cases}$

$\frac{4}{x^2+3x} = \frac{4}{3x}-\frac{4}{3(x+3)}$

Тогда получаем:

$= \int \left(-x^3+3x^2\right) dx + \int \left(\frac{4}{3x}-\frac{4}{3(x+3)}\right) dx =$

$= -\frac{x^4}{4}+x^3 +\frac{4}{3}\cdot \ln{|x|} - \frac{4}{3}\cdot \ln{|x+3|} + C$