Задача Кузнецов Интегралы 5-2

Условие задачи

Вычислить неопределенный интеграл:

$\int \frac{3x^3+1}{x^2-1} dx$

Решение

$\int \frac{3x^3+1}{x^2-1} dx =$

Под интегралом неправильная дробь. Выделим целую часть:

$\begin{array}{ll} 3x^3+1&|\underline{x^2-1} \\ \underline{3x^3-3x}&3x \\ \qquad 3x+1& \\ \end{array}$

Получаем:

$= \int \left(3x + \frac{3x+1}{x^2-1} \right)dx = \int 3x\; dx + \int \frac{3x+1}{(x-1)(x+1)}dx =$

Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

$\frac{3x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} = \frac{A(x+1)+B(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{(A+B)x+(A-B)}{(x-1)(x+1)}$

$\begin{cases} A+B = 3 \\ A-B = 1\end{cases}$

$\begin{cases} A = 2 \\ B= 1\end{cases}$

$\frac{x+1}{x(x-1)} = \frac{2}{x-1} + \frac{1}{x+1}$

Тогда получаем:

$= \int 3x\; dx + \int \left(\frac{2}{x-1} + \frac{1}{x+1}\right)dx = \frac{3x^2}{2} + 2\ln{|x-1|} + \ln{|x+1|} + C$