Задача Кузнецов Интегралы 5-29

Условие задачи

Вычислить неопределенный интеграл:

$\int \frac{2x^4+2x^3-3x^2+2x-9}{x(x-1)(x+3)} dx$

Решение

$\int \frac{2x^4+2x^3-3x^2+2x-9}{x(x-1)(x+3)} dx = \int \frac{2x^4+2x^3-3x^2+2x-9}{x^3+2x^2-3x} dx =$

Под интегралом неправильная дробь. Выделим целую часть:

$\begin{array}{ll} 2x^4+2x^3-3x^2+2x-9&|\underline{x^3+2x^2-3x} \\ \underline{2x^4+4x^3-6x^2}&2x-2 \\ \qquad -2x^3+3x^2+2x-9& \\ \qquad \underline{-2x^3-4x^2+6x \qquad }& \\ \qquad \qquad \quad \; 7x^2-4x-9& \\ \end{array}$

Получаем:

$= \int \left(2x-2 + \frac{7x^2-4x-9}{x^3-3x^2+2x}\right)dx = \int \left(2x-2\right)dx + \int \frac{7x^2-4x-9}{x(x-1)(x+3)} dx =$

Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

$\frac{7x^2-4x-9}{x(x-1)(x+3)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+3} =$

$= \frac{A(x+3)(x-1) + B(x+3)x + C(x-1)x}{x(x-1)(x+3)} =$

$= \frac{A\left(x^2+2x-3\right) + B\left(x^2+3x\right) + C\left(x^2-x\right)}{x(x-1)(x+3)} =$

$= \frac{(A+B+C)x^2+(2A+3B-C)x -3A}{x(x-1)(x+3)} =$

$\begin{cases} A+B+C = 7 \\ 2A+3B-C = -4 \\ -3A = -9 \end{cases}$

$\begin{cases} B+C = 4 \\ 3B-C = -10 \\ A = 3 \end{cases}$

Прибавим ко второй строке первую:

$\begin{cases} B+C = 4 \\ 4B = -6 \\ A = 3 \end{cases}$

$\begin{cases} C = \frac{11}{2} \\ B = -\frac{3}{2} \\ A = 3 \end{cases}$

$\frac{3x^2-4x+9}{(x+3)(x-1)x} = \frac{3}{x} - \frac{3}{2(x-1)} + \frac{11}{2(x+3)}$

Тогда получаем:

$= \int \left(2x-2\right)dx + \int \left(\frac{3}{x} - \frac{3}{2(x-1)} + \frac{11}{2(x+3)}\right)dx =$

$= x^2 - 2x + 3\cdot \ln{|x|} -\frac{3}{2}\cdot \ln{|x-1|} +\frac{11}{2}\cdot \ln{|x+3|} + C$