Задача Кузнецов Интегралы 5-3

Условие задачи

Вычислить неопределенный интеграл:

$\int \frac{x^3-17}{x^2-4x+3} dx$

Решение

$\int \frac{x^3-17}{x^2-4x+3} dx =$

Под интегралом неправильная дробь. Выделим целую часть:

$\begin{array}{ll} x^3-17&|\underline{x^2-4x+3} \\ \underline{x^3-4x^2+3x}&x+4 \\ \qquad 4x^2-3x-17& \\ \qquad \underline{4x^2-16x+12}& \\ \qquad \qquad \;\; 13x-29& \\ \end{array}$

Получаем:

$= \int \left(x+4 + \frac{13x-29}{x^2-4x+3} \right)dx = \int (x+4)dx + \int \frac{13x-29}{(x-1)(x-3)}dx =$

Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

$\frac{13x-29}{(x-1)(x-3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-3} = \frac{A(x-3)+B(x-1)}{(x-1)(x-3)} = \frac{(A+B)x-(3A+B)}{(x-1)(x-3)}$

$\begin{cases} A+B = 13 \\ -(3A+B)= -29\end{cases}$

$\begin{cases} A = 8 \\ B= 5\end{cases}$

$\frac{x+1}{x(x-1)} = \frac{8}{x-1} + \frac{5}{x-3}$

Тогда получаем:

$= \int (x+4)dx + \int \left(\frac{8}{x-1} + \frac{5}{x-3}\right)dx = \frac{x^2}{2} + 4x + 8\ln{|x-1|} + 5\ln{|x-3|} + C$