Задача Кузнецов Интегралы 5-31

Условие задачи

Вычислить неопределенный интеграл:

$\int \frac{2x^3-40x-8}{x(x+4)(x-2)} dx$

Решение

$\int \frac{2x^3-40x-8}{x(x+4)(x-2)} dx = \int \frac{2x^3-40x-8}{x^3+2x^2-8x} dx =$

Под интегралом неправильная дробь. Выделим целую часть:

$\begin{array}{ll} 2x^3-40x-8&|\underline{x^3+2x^2-8x} \\ \underline{2x^3+4x^2-16x \qquad}&2 \\ \qquad -4x^2-24x-8& \\ \end{array}$

Получаем:

$= \int \left(2 + \frac{-4x^2-24x-8}{x^3+2x^2-8x}\right)dx = \int 2\; dx + \int \frac{-4x^2-24x-8}{x(x+4)(x-2)} dx =$

Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

$\frac{-4x^2-24x-8}{x(x+4)(x-2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+4} + \frac{C}{x-2} =$

$= \frac{A(x+4)(x-2) + Bx(x-2) + Cx(x+4)}{x(x+4)(x-2)} =$

$= \frac{A\left(x^2+2x-8\right) + B\left(x^2-2x\right) + C\left(x^2+4x\right)}{x(x+4)(x-2)} =$

$= \frac{(A+B+C)x^2+(2A-2B+4C)x -8A}{x(x+1)(x-2)} =$

$\begin{cases} A+B+C = -4 \\ 2A-2B+4C = -24 \\ -8A = -8 \end{cases}$

$\begin{cases} B+C = -5 \\ -2B+4C = -26 \\ A = 1 \end{cases}$

Прибавим ко второй строке первую умноженную на 2:

$\begin{cases} B+C = -5 \\ 6C = -36 \\ A = 1 \end{cases}$

$\begin{cases} B = 1 \\ C = -6 \\ A = 1 \end{cases}$

$\frac{-4x^2-24x-8}{x(x+4)(x-2)} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+4} - \frac{6}{x-2}$

Тогда получаем:

$= \int 2\; dx + \int \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+4} - \frac{6}{x-2}\right)dx =$

$= 2x + \ln{|x|} + \ln{|x+4|} - 6\cdot \ln{|x-2|} + C$