Задача Кузнецов Интегралы 6-1

Условие задачи

Вычислить неопределенный интеграл:

$\int \frac{x^3+6x^2+13x+9}{(x+1)(x+2)^3}dx$

Решение

$\int \frac{x^3+6x^2+13x+9}{(x+1)(x+2)^3} dx =$

Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

$\frac{x^3+6x^2+13x+9}{(x+1)(x+2)^3} = \frac{A}{x+1} + \frac{B_1}{x+2} + \frac{B_2}{(x+2)^2} + \frac{B_3}{(x+2)^3} =$

$= \frac{A(x+2)^3 + B_1(x+1)(x+2)^2 + B_2(x+1)(x+2) + B_3(x+1)}{(x+1)(x+2)^3} =$

$= \frac{A\left(x^3+6x^2+12x+8\right) + B_1\left(x^3+5x^2+8x+4\right) + B_2\left(x^2+3x+2\right) + B_3(x+1)}{(x+1)(x+2)^3} =$

$= \frac{(A+B_1)x^3+(6A+5B_1+B_2)x^2+(12A+8B_1+3B_2+B_3)x + (8A+4B_1+2B_2+B_3)}{(x+1)(x+2)^3}$

$\begin{cases} A+B_1 = 1 \\ 6A+5B_1+B_2= 6 \\ 12A+8B_1+3B_2+B_3=13 \\ 8A+4B_1+2B_2+B_3=9 \end{cases}$

Вычтем из третьего уравнения четвертое:

$\begin{cases} A+B_1 = 1 \\ 6A+5B_1+B_2= 6 \\ 4A+4B_1+B_2=4 \\ 8A+4B_1+2B_2+B_3=9 \end{cases}$

Прибавим к третьему уравнению первое умноженное на -4:

$\begin{cases} A+B_1 = 1 \\ 6A+5B_1+B_2= 6 \\ B_2=0 \\ 8A+4B_1+2B_2+B_3=9 \end{cases}$

$\begin{cases} A+B_1 = 1 \\ 6A+5B_1= 6 \\ B_2=0 \\ 8A+4B_1+B_3=9 \end{cases}$

Прибавим к второму уравнению первое умноженное на -5:

$\begin{cases} A+B_1 = 1 \\ A= 1 \\ B_2=0 \\ 8A+4B_1+B_3=9 \end{cases}$

$\begin{cases} B_1 = 0 \\ A= 1 \\ B_2=0 \\ B_3=1 \end{cases}$

$\frac{x^3+6x^2+13x+9}{(x+1)(x+2)^3} = \frac{1}{x+1} + \frac{1}{(x+2)^3}$

Тогда:

$\int \frac{x^3+6x^2+13x+9}{(x+1)(x+2)^3} dx = \int \left(\frac{1}{x+1} + \frac{1}{(x+2)^3}\right) dx = \ln{|x+1|} - \frac{1}{2(x+2)^2} + C$