Задача Кузнецов Интегралы 6-19

Условие задачи

Вычислить неопределенный интеграл:

$\int \frac{2x^3+6x^2+7x}{(x-2)(x+1)^3}dx$

Решение

$\int \frac{2x^3+6x^2+7x}{(x-2)(x+1)^3}dx =$

Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

$\frac{2x^3+6x^2+7x}{(x-2)(x+1)^3} = \frac{A}{x-2} + \frac{B_1}{x+1} + \frac{B_2}{(x+1)^2} + \frac{B_3}{(x+1)^3} =$

$= \frac{A(x+1)^3 + B_1(x-2)(x+1)^2 + B_2(x-2)(x+1) + B_3(x-2)}{(x-2)(x+1)^3} =$

$= \frac{A\left(x^3+3x^2+3x+1\right) + B_1\left(x^3-3x-2\right) + B_2\left(x^2-x-2\right) + B_3(x-2)}{(x-2)(x+1)^3} =$

$= \frac{(A+B_1)x^3+(3A+B_2)x^2+(3A-3B_1-B_2+B_3)x + (A-2B_1-2B_2-2B_3)}{(x-2)(x+1)^3}$

$\begin{cases} A+B_1 = 2 \\ 3A+B_2= 6 \\ 3A-3B_1-B_2+B_3=7 \\ A-2B_1-2B_2-2B_3=0 \end{cases}$

Прибавим ко второму уравнению первое умноженное на -3:

$\begin{cases} A+B_1 = 2 \\ -3B_1+B_2= 0 \\ 3A-3B_1-B_2+B_3=7 \\ A-2B_1-2B_2-2B_3=0 \end{cases}$

$\begin{cases} A+B_1 = 2 \\ B_2= 3B_1 \\ 3A-6B_1+B_3=7 \\ A-8B_1-2B_3=0 \end{cases}$

Прибавим к четвертому уравнению третье умноженное на 2:

$\begin{cases} A+B_1 = 2 \\ B_2= 3B_1 \\ 3A-6B_1+B_3=7 \\ 7A-20B_1=14 \end{cases}$

Прибавим к четвертому уравнению первое умноженное на 20:

$\begin{cases} A+B_1 = 2 \\ B_2= 3B_1 \\ 3A-6B_1+B_3=7 \\ 27A=54 \end{cases}$

$\begin{cases} B_1 = 0 \\ B_2= 3B_1 \\ -6B_1+B_3=1 \\ A=2 \end{cases}$

$\begin{cases} B_1 = 0 \\ B_2= 0 \\ B_3=1 \\ A=2 \end{cases}$

$\frac{2x^3+6x^2+7x}{(x-2)(x+1)^3} = \frac{2}{x-2} + \frac{1}{(x+1)^3}$

Тогда:

$\int \frac{2x^3+6x^2+7x}{(x-2)(x+1)^3} dx = \int \left(\frac{2}{x-2} + \frac{1}{(x+1)^3}\right) dx = 2\cdot \ln{|x-2|} - \frac{1}{2(x+1)^2} + C$