Задача Кузнецов Интегралы 6-2

Условие задачи

Вычислить неопределенный интеграл:

$\int \frac{x^3+6x^2+13x+8}{x(x+2)^3}dx$

Решение

$\int \frac{x^3+6x^2+13x+8}{x(x+2)^3}dx =$

Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

$\frac{x^3+6x^2+13x+8}{x(x+2)^3} = \frac{A}{x} + \frac{B_1}{x+2} + \frac{B_2}{(x+2)^2} + \frac{B_3}{(x+2)^3} =$

$= \frac{A(x+2)^3 + B_1x(x+2)^2 + B_2x(x+2) + B_3x}{x(x+2)^3} =$

$= \frac{A\left(x^3+6x^2+12x+8\right) + B_1\left(x^3+4x^2+4x\right) + B_2\left(x^2+2x\right) + B_3x}{x(x+2)^3} =$

$= \frac{(A+B_1)x^3+(6A+4B_1+B_2)x^2+(12A+4B_1+2B_2+B_3)x + 8A}{x(x+2)^3}$

$\begin{cases} A+B_1 = 1 \\ 6A+4B_1+B_2= 6 \\ 12A+4B_1+2B_2+B_3=13 \\ 8A=8 \end{cases}$

$\begin{cases} B_1 = 0 \\ 4B_1+B_2= 0 \\ 4B_1+2B_2+B_3=1 \\ A=1 \end{cases}$

$\begin{cases} B_1 = 0 \\ B_2= 0 \\ 2B_2+B_3=1 \\ A=1 \end{cases}$

$\begin{cases} B_1 = 0 \\ B_2= 0 \\ B_3=1 \\ A=1 \end{cases}$

$\frac{x^3+6x^2+13x+8}{x(x+2)^3} = \frac{1}{x} + \frac{1}{(x+2)^3}$

Тогда:

$\int \frac{x^3+6x^2+13x+8}{x(x+2)^3} dx = \int \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{(x+2)^3}\right) dx = \ln{|x|} - \frac{1}{2(x+2)^2} + C$