Задача Кузнецов Интегралы 6-25

У этой задачи может быть и другое условие (возможно из-за разных изданий или ошибки). Подробней см. 6-25(2)

Условие задачи

Вычислить неопределенный интеграл:

$\int \frac{x^3-6x^2+14x-4}{(x-2)(x+2)^3}dx$

Решение

$\int \frac{x^3-6x^2+14x-4}{(x-2)(x+2)^3}dx =$

Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

$\frac{x^3-6x^2+14x-4}{(x-2)(x+2)^3} = \frac{A}{x-2} + \frac{B_1}{x+2} + \frac{B_2}{(x+2)^2} + \frac{B_3}{(x+2)^3} =$

$= \frac{A(x+2)^3 + B_1(x-2)(x+2)^2 + B_2(x-2)(x+2) + B_3(x-2)}{(x-2)(x+2)^3} =$

$= \frac{A\left(x^3+6x^2+12x+8\right) + B_1\left(x^3+2x^2-4x-8\right) + B_2\left(x^2-4\right) + B_3(x-2)}{(x-2)(x+2)^3} =$

$= \frac{(A+B_1)x^3+(6A+2B_1+B_2)x^2+(12A-4B_1+B_3)x + (8A-8B_1-4B_2-2B_3)}{(x-2)(x+2)^3}$

$\begin{cases} A+B_1 = 1 \\ 6A+2B_1+B_2= -6 \\ 12A-4B_1+B_3=14 \\ 8A-8B_1-4B_2-2B_3=-4 \end{cases}$

Прибавим к четвертому уравнению третье умноженное на 2:

$\begin{cases} A+B_1 = 1 \\ 6A+2B_1+B_2= -6 \\ 12A-4B_1+B_3=14 \\ 32A-16B_1-4B_2=24 \end{cases}$

Прибавим к четвертому уравнению второе умноженное на 4:

$\begin{cases} A+B_1 = 1 \\ 6A+2B_1+B_2= -6 \\ 12A-4B_1+B_3=14 \\ 56A-8B_1=0 \end{cases}$

$\begin{cases} A+B_1 = 1 \\ 6A+2B_1+B_2= -6 \\ 12A-4B_1+B_3=14 \\ 7A-B_1=0 \end{cases}$

Прибавим к четвертому уравнению первое:

$\begin{cases} A+B_1 = 1 \\ 6A+2B_1+B_2= -6 \\ 12A-4B_1+B_3=14 \\ 8A=1 \end{cases}$

$\begin{cases} B_1 = \frac{7}{8} \\ 2B_1+B_2= -\frac{27}{4} \\ -4B_1+B_3=\frac{25}{2} \\ A=\frac{1}{8} \end{cases}$

$\begin{cases} B_1 = \frac{7}{8} \\ B_2= -\frac{17}{2} \\ B_3=16 \\ A=\frac{1}{8} \end{cases}$

$\frac{x^3-6x^2+14x-4}{(x-2)(x+2)^3} = \frac{1}{8(x-2)} + \frac{7}{8(x+2)} - \frac{17}{2(x+2)^2} + \frac{16}{(x+2)^3}$

Тогда:

$\int \frac{x^3-6x^2+14x-4}{(x-2)(x+2)^3} dx = \int \left(\frac{1}{8(x-2)} + \frac{7}{8(x+2)} - \frac{17}{2(x+2)^2} + \frac{16}{(x+2)^3}\right) dx =$

$= \frac{1}{8}\cdot \ln{|x-2|} + \frac{7}{8}\cdot \ln{|x+2|} + \frac{17}{2(x+2)} - \frac{8}{(x+2)^2} + C =$

$= \frac{1}{8}\cdot \ln{|x-2|} + \frac{7}{8}\cdot \ln{|x+2|} + \frac{17x+18}{2(x+2)^2} + C$