Задача Кузнецов Интегралы 6-3

Условие задачи

Вычислить неопределенный интеграл:

$\int \frac{x^3-6x^2+13x-6}{(x+2)(x-2)^3}dx$

Решение

$\int \frac{x^3-6x^2+13x-6}{(x+2)(x-2)^3} dx =$

Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

$\frac{x^3-6x^2+13x-6}{(x+2)(x-2)^3} = \frac{A}{x+2} + \frac{B_1}{x-2} + \frac{B_2}{(x-2)^2} + \frac{B_3}{(x-2)^3} =$

$= \frac{A(x-2)^3 + B_1(x+2)(x-2)^2 + B_2(x+2)(x-2) + B_3(x+2)}{(x+2)(x-2)^3} =$

$= \frac{A\left(x^3-6x^2+12x-8\right) + B_1\left(x^3-2x^2-4x+8\right) + B_2\left(x^2-4\right) + B_3(x+2)}{(x+2)(x-2)^3} =$

$= \frac{(A+B_1)x^3+(-6A-2B_1+B_2)x^2+(12A-4B_1+B_3)x + (-8A+8B_1-4B_2+2B_3)}{(x+2)(x-2)^3}$

$\begin{cases} A+B_1 = 1 \\ -6A-2B_1+B_2= -6 \\ 12A-4B_1+B_3=13 \\ -8A+8B_1-4B_2+2B_3=-6 \end{cases}$

Прибавим ко второму уравнению первое умноженное на 6:

$\begin{cases} A+B_1 = 1 \\ 4B_1+B_2= 0 \\ 12A-4B_1+B_3=13 \\ -8A+8B_1-4B_2+2B_3=-6 \end{cases}$

$\begin{cases} A+B_1 = 1 \\ B_2= -4B_1 \\ 12A-4B_1+B_3=13 \\ -8A+24B_1+2B_3=-6 \end{cases}$

Прибавим к четвертому уравнению третье умноженное на -2:

$\begin{cases} A+B_1 = 1 \\ B_2= -4B_1 \\ 12A-4B_1+B_3=13 \\ -32A+32B_1=-32 \end{cases}$

$\begin{cases} A+B_1 = 1 \\ B_2= -4B_1 \\ 12A-4B_1+B_3=13 \\ A-B_1=1 \end{cases}$

Прибавим к четвертому уравнению первое:

$\begin{cases} A+B_1 = 1 \\ B_2= -4B_1 \\ 12A-4B_1+B_3=13 \\ 2A=2 \end{cases}$

$\begin{cases} B_1 = 0 \\ B_2= 0 \\ B_3=1 \\ A=1 \end{cases}$

$\frac{x^3-6x^2+13x-6}{(x+2)(x-2)^3} = \frac{1}{x+2} + \frac{1}{(x-2)^3}$

Тогда:

$\int \frac{x^3-6x^2+13x-6}{(x+2)(x-2)^3} dx = \int \left(\frac{1}{x+2} + \frac{1}{(x-2)^3}\right) dx = \ln{|x+2|} - \frac{1}{2(x-2)^2} + C$