Задача Кузнецов Интегралы 6-31

Условие задачи

Вычислить неопределенный интеграл:

$\int \frac{x^3+6x^2+13x+6}{(x-2)(x+2)^3}dx$

Решение

$\int \frac{x^3+6x^2+13x+6}{(x-2)(x+2)^3}dx =$

Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

$\frac{x^3+6x^2+13x+6}{(x-2)(x+2)^3} = \frac{A}{x-2} + \frac{B_1}{x+2} + \frac{B_2}{(x+2)^2} + \frac{B_3}{(x+2)^3} =$

$= \frac{A(x+2)^3 + B_1(x-2)(x+2)^2 + B_2(x-2)(x+2) + B_3(x-2)}{(x-2)(x+2)^3} =$

$= \frac{A\left(x^3+6x^2+12x+8\right) + B_1\left(x^3+2x^2-4x-8\right) + B_2\left(x^2-4\right) + B_3(x-2)}{(x-2)(x+2)^3} =$

$= \frac{(A+B_1)x^3+(6A+2B_1+B_2)x^2+(12A-4B_1+B_3)x + (8A-8B_1-4B_2-2B_3)}{(x-2)(x+2)^3}$

$\begin{cases} A+B_1 = 1 \\ 6A+2B_1+B_2= 6 \\ 12A-4B_1+B_3=13 \\ 8A-8B_1-4B_2-2B_3=6 \end{cases}$

Прибавим к четвертому уравнению третье умноженное на 2:

$\begin{cases} A+B_1 = 1 \\ 6A+2B_1+B_2= 6 \\ 12A-4B_1+B_3=13 \\ 32A-16B_1-4B_2=32 \end{cases}$

Прибавим к четвертому уравнению второе умноженное на 4:

$\begin{cases} A+B_1 = 1 \\ 6A+2B_1+B_2= 6 \\ 12A-4B_1+B_3=13 \\ 56A-8B_1=56 \end{cases}$

$\begin{cases} A+B_1 = 1 \\ 6A+2B_1+B_2= 6 \\ 12A-4B_1+B_3=13 \\ 7A-B_1=7 \end{cases}$

Прибавим к четвертому уравнению первое:

$\begin{cases} A+B_1 = 1 \\ 6A+2B_1+B_2= 6 \\ 12A-4B_1+B_3=13 \\ 8A=8 \end{cases}$

$\begin{cases} B_1 = 0 \\ 2B_1+B_2= 0 \\ -4B_1+B_3=1 \\ A=1 \end{cases}$

$\begin{cases} B_1 = 0 \\ B_2= 0 \\ B_3=1 \\ A=1 \end{cases}$

$\frac{x^3+6x^2+13x+6}{(x-2)(x+2)^3} = \frac{1}{x-2} + \frac{1}{(x+2)^3}$

Тогда:

$\int \frac{x^3+6x^2+13x+6}{(x-2)(x+2)^3} dx = \int \left(\frac{1}{x-2} + \frac{1}{(x+2)^3}\right) dx = \ln{|x-2|} - \frac{1}{2(x+2)^2} + C$