Задача Кузнецов Интегралы 7-1

Условие задачи

Найти неопределенный интеграл:

$\int \frac{x^3+4x^2+4x+2}{(x+1)^2\left(x^2+x+1\right)}dx$

Решение

$\int \frac{x^3+4x^2+4x+2}{(x+1)^2\left(x^2+x+1\right)}dx =$

Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

$\frac{x^3+4x^2+4x+2}{(x+1)^2\left(x^2+x+1\right)} = \frac{A_1}{x+1} + \frac{A_2}{(x+1)^2} + \frac{Bx+C}{x^2+x+1} =$

$= \frac{A_1(x+1)\left(x^2+x+1\right) + A_2\left(x^2+x+1\right) + (Bx+C)(x+1)^2}{(x+1)^2\left(x^2+x+1\right)} =$

$= \frac{A_1\left(x^3+2x^2+2x+1\right) + A_2\left(x^2+x+1\right) + B\left(x^3+2x^2+x\right) + C\left(x^2+2x+1\right)}{(x+1)^2\left(x^2+x+1\right)} =$

$= \frac{(A_1+B)x^3 + (2A_1+A_2+2B+C)x^2 + (2A_1+A_2+B+2C)x + (A_1+A_2+C)}{(x+1)^2\left(x^2+x+1\right)}$

$\begin{cases} A_1+B = 1 \\ 2A_1+A_2+2B+C= 4 \\ 2A_1+A_2+B+2C=4 \\ A_1+A_2+C=2 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения четвертое:

$\begin{cases} A_1+B = 1 \\ A_1+2B=2 \\ 2A_1+A_2+B+2C=4 \\ A_1+A_2+C=2 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое:

$\begin{cases} A_1+B = 1 \\ B=1 \\ 2A_1+A_2+B+2C=4 \\ A_1+A_2+C=2 \end{cases}$

$\begin{cases} A_1 = 0 \\ B=1 \\ 2A_1+A_2+2C=3 \\ A_1+A_2+C=2 \end{cases}$

$\begin{cases} A_1 = 0 \\ B=1 \\ A_2+2C=3 \\ A_2+C=2 \end{cases}$

Вычтем из тертьего уравнения четвертое:

$\begin{cases} A_1 = 0 \\ B=1 \\ C=1 \\ A_2+C=2 \end{cases}$

$\begin{cases} A_1 = 0 \\ B=1 \\ C=1 \\ A_2=1 \end{cases}$

$\frac{x^3+4x^2+4x+2}{(x+1)^2\left(x^2+x+1\right)} = \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{x+1}{x^2+x+1}$

Тогда:

$\int \frac{x^3+4x^2+4x+2}{(x+1)^2\left(x^2+x+1\right)} dx = \int \left(\frac{1}{(x+1)^2} + \frac{x+1}{x^2+x+1}\right) dx =$

$= \int \frac{1}{(x+1)^2} dx + \frac{1}{2}\cdot \int \frac{2x+1+1}{x^2+x+1} dx =$

$= -\frac{1}{x+1} + \frac{1}{2}\cdot \int \frac{2x+1}{x^2+x+1} dx + \frac{1}{2}\cdot \int \frac{1}{x^2+x+1} dx =$

$= -\frac{1}{x+1} + \frac{1}{2}\cdot \int \frac{d\left(x^2+x+1\right)}{x^2+x+1} + \frac{1}{2}\cdot \int \frac{4}{4x^2+4x+4} dx =$

$= -\frac{1}{x+1} + \frac{1}{2}\cdot \ln{\left(x^2+x+1\right)} + \int \frac{2}{(2x+1)^2+3} dx =$

$= -\frac{1}{x+1} + \frac{1}{2}\cdot \ln{\left(x^2+x+1\right)} + \int \frac{d(2x+1)}{(2x+1)^2+3} =$

$= -\frac{1}{x+1} + \frac{1}{2}\cdot \ln{\left(x^2+x+1\right)} + \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \operatorname{arctg}{\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)} + C$