Задача Кузнецов Интегралы 7-19

Условие задачи

Найти неопределенный интеграл:

$\int \frac{2x^3+4x^2+2x+2}{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+x+2\right)} dx$

Решение

$\int \frac{2x^3+4x^2+2x+2}{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+x+2\right)} dx =$

Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

$\frac{2x^3+4x^2+2x+2}{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+x+2\right)} = \frac{Ax+B}{x^2+x+1} + \frac{Cx+D}{x^2+x+2} =$

$= \frac{(Ax+B)\left(x^2+x+2\right)+(Cx+D)\left(x^2+x+1\right)}{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+x+2\right)} =$

$= \frac{Ax^3+Ax^2+2Ax+Bx^2+Bx+2B+Cx^3+Cx^2+Cx+Dx^2+Dx+D}{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+x+2\right)} =$

$= \frac{(A+C)x^3+(A+B+C+D)x^2+(2A+B+C+D)x+(2B+D)}{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+x+2\right)}$

$\begin{cases} A+C = 2 \\ A+B+C+D= 4 \\ 2A+B+C+D=2 \\ 2B+D=2 \end{cases}$

Вычтем из третьего уравнения второе:

$\begin{cases} A+C = 2 \\ A+B+C+D= 4 \\ A=-2 \\ 2B+D=2 \end{cases}$

$\begin{cases} C = 4 \\ B+C+D=6 \\ A=-2 \\ 2B+D=2 \end{cases}$

$\begin{cases} C = 4 \\ B+D=2 \\ A=-2 \\ 2B+D=2 \end{cases}$

Вычтем из четвертого уравнения второе:

$\begin{cases} C = 4 \\ B+D=2 \\ A=-2 \\ B=0 \end{cases}$

$\begin{cases} C = 4 \\ D=2 \\ A=-2 \\ B=0 \end{cases}$

$\frac{2x^3+4x^2+2x+2}{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+x+2\right)} = -\frac{2x}{x^2+x+1} + \frac{4x+2}{x^2+x+2}$

Тогда:

$\int \frac{2x^3+4x^2+2x+2}{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+x+2\right)} dx = \int \left(-\frac{2x}{x^2+x+1} + \frac{4x+2}{x^2+x+2}\right) dx =$

$= -\int \frac{2x+1-1}{x^2+x+1} dx + 2\cdot \int \frac{2x+1}{x^2+x+2} dx =$

$= -\int \frac{2x+1}{x^2+x+1} dx + \int \frac{1}{x^2+x+1} dx + 2\cdot \int \frac{d\left(x^2+x+2\right)}{x^2+x+2} dx =$

$= -\int \frac{d\left(x^2+x+1\right)}{x^2+x+1} dx + \int \frac{4}{4x^2+4x+4} dx + 2\cdot \int \frac{d\left(x^2+x+2\right)}{x^2+x+2} dx =$

$= -\ln{\left(x^2+x+1\right)} + 2\cdot \int \frac{d(2x+1)}{(2x+1)^2+3} + 2\cdot \ln{\left(x^2+x+2\right)} =$

$= -\ln{\left(x^2+x+1\right)} + \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \operatorname{arctg}{\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)} + 2\cdot \ln{\left(x^2+x+2\right)} +C$