Задача Кузнецов Интегралы 7-2

Условие задачи

Найти неопределенный интеграл:

$\int \frac{x^3+4x^2+3x+2}{(x+1)^2\left(x^2+1\right)} dx$

Решение

$\int \frac{x^3+4x^2+3x+2}{(x+1)^2\left(x^2+1\right)} dx =$

Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

$\frac{x^3+4x^2+3x+2}{(x+1)^2\left(x^2+1\right)} = \frac{A_1}{x+1} + \frac{A_2}{(x+1)^2} + \frac{Bx+C}{x^2+1} =$

$= \frac{A_1(x+1)\left(x^2+1\right) + A_2\left(x^2+1\right) + (Bx+C)(x+1)^2}{(x+1)^2\left(x^2+1\right)} =$

$= \frac{A_1\left(x^3+x^2+x+1\right) + A_2\left(x^2+1\right) + B\left(x^3+2x^2+x\right) + C\left(x^2+2x+1\right)}{(x+1)^2\left(x^2+1\right)} =$

$= \frac{(A_1+B)x^3 + (A_1+A_2+2B+C)x^2 + (A_1+B+2C)x + (A_1+A_2+C)}{(x+1)^2\left(x^2+1\right)}$

$\begin{cases} A_1+B = 1 \\ A_1+A_2+2B+C=4 \\ A_1+B+2C=3 \\ A_1+A_2+C=2 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения четвертое:

$\begin{cases} A_1+B = 1 \\ 2B=2 \\ A_1+B+2C=3 \\ A_1+A_2+C=2 \end{cases}$

$\begin{cases} A_1=0 \\ B=1 \\ A_1+2C=2 \\ A_1+A_2+C=2 \end{cases}$

$\begin{cases} A_1=0 \\ B=1 \\ 2C=2 \\ A_2+C=2 \end{cases}$

$\begin{cases} A_1=0 \\ B=1 \\ C=1 \\ A_2=1 \end{cases}$

$\frac{x^3+4x^2+3x+2}{(x+1)^2\left(x^2+1\right)} = \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{x+1}{x^2+1}$

Тогда:

$\int \frac{x^3+4x^2+3x+2}{(x+1)^2\left(x^2+1\right)} dx=\int \left(\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{x+1}{x^2+1}\right)dx=$

$=\int (x+1)^{-2} dx +\int \frac{x}{(x^2+1)} dx + \int \frac{1}{x^2+1}dx=$

$=\int (x+1)^{-2} dx + \frac{1}{2} \int \frac{d\left(x^2+1\right)}{x^2+1}+\int \frac{1}{x^2+1}dx=$

$= -\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2}\ln{\left|x^2+1\right|}+\operatorname{arctg}{x}+C$