Задача Кузнецов Интегралы 7-29

Условие задачи

Найти неопределенный интеграл:

$\int \frac{2x^3+2x^2+2x+1}{\left(x^2+x+1 \right)\left(x^2+1 \right)} dx$

Решение

$\int \frac{2x^3+2x^2+2x+1}{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+1\right)} dx =$

Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

$\frac{2x^3+2x^2+2x+1}{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+1\right)} = \frac{Ax+B}{x^2+x+1} + \frac{Cx+D}{x^2+1} =$

$= \frac{(Ax+B)\left(x^2+1\right)+(Cx+D)\left(x^2+x+1\right)}{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+1\right)} =$

$= \frac{Ax^3+Ax+Bx^2+B+Cx^3+Cx^2+Cx+Dx^2+Dx+D}{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+1\right)} =$

$= \frac{(A+C)x^3+(B+C+D)x^2+(A+C+D)x+(B+D)}{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+1\right)}$

$\begin{cases} A+C = 2 \\ B+C+D= 2 \\ A+C+D=2 \\ B+D=1 \end{cases}$

Вычтем из третьего уравнения первое:

$\begin{cases} A+C = 2 \\ B+C+D= 2 \\ D=0 \\ B+D=1 \end{cases}$

$\begin{cases} A+C = 2 \\ B+C= 2 \\ D=0 \\ B=1 \end{cases}$

$\begin{cases} A+C = 2 \\ C= 1 \\ D=0 \\ B=1 \end{cases}$

$\begin{cases} A=1 \\ C=1 \\ D=0 \\ B=1 \end{cases}$

$\frac{2x^3+2x^2+2x+1}{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+1\right)} = \frac{x+1}{x^2+x+1} + \frac{x}{x^2+1}$

Тогда:

$\int \frac{2x^3+2x^2+2x+1}{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+1\right)} dx = \int \left(\frac{x+1}{x^2+x+1} + \frac{x}{x^2+1}\right) dx =$

$= \frac{1}{2}\cdot \int \frac{2x+1+1}{x^2+x+1} dx + \frac{1}{2}\cdot \int \frac{2x}{x^2+1} dx =$

$= \frac{1}{2}\cdot \int \frac{2x+1}{x^2+x+1} dx + \frac{1}{2}\cdot \int \frac{1}{x^2+x+1} dx + \frac{1}{2}\cdot \int \frac{d\left(x^2+1\right)}{x^2+1} dx =$

$= \frac{1}{2}\cdot \int \frac{d\left(x^2+x+1\right)}{x^2+x+1} dx + \frac{1}{2}\cdot \int \frac{4}{4x^2+4x+4} dx + \frac{1}{2}\cdot \int \frac{d\left(x^2+1\right)}{x^2+1} dx =$

$= \frac{1}{2}\cdot \ln{\left(x^2+x+1\right)} + \int \frac{d(2x+1)}{(2x+1)^2+3} dx + \frac{1}{2}\cdot \ln{\left(x^2+1\right)} =$

$= \frac{1}{2}\cdot \ln{\left(x^2+x+1\right)} + \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \operatorname{arctg}{\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)} + \frac{1}{2}\cdot \ln{\left(x^2+1\right)} + C$