Задача Кузнецов Интегралы 7-3

Условие задачи

Найти неопределенный интеграл:

$\int \frac{2x^3+7x^2+7x-1}{(x+2)^2\left(x^2+x+1\right)} dx$

Решение

$\int \frac{2x^3+7x^2+7x-1}{(x+2)^2\left(x^2+x+1\right)} dx =$

Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

$\frac{2x^3+7x^2+7x-1}{(x+2)^2\left(x^2+x+1\right)} = \frac{A_1}{x+2} + \frac{A_2}{(x+2)^2} + \frac{Bx+C}{x^2+x+1} =$

$= \frac{A_1(x+2)\left(x^2+x+1\right) + A_2\left(x^2+x+1\right) + (Bx+C)(x+2)^2}{(x+2)^2\left(x^2+x+1\right)} =$

$= \frac{A_1\left(x^3+3x^2+3x+2\right) + A_2\left(x^2+x+1\right) + B\left(x^3+4x^2+4x\right) + C\left(x^2+4x+4\right)}{(x+2)^2\left(x^2+x+1\right)} =$

$= \frac{(A_1+B)x^3 + (3A_1+A_2+4B+C)x^2 + (3A_1+A_2+4B+4C)x + (2A_1+A_2+4C)}{(x+2)^2\left(x^2+x+1\right)}$

$\begin{cases} A_1+B = 2 \\ 3A_1+A_2+4B+C = 7 \\ 3A_1+A_2+4B+4C = 7 \\ 2A_1+A_2+4C= -1 \end{cases}$

Вычтем из третьего уравнения второе:

$\begin{cases} A_1+B = 2 \\ 3A_1+A_2+4B+C = 7 \\ 3C = 0 \\ 2A_1+A_2+4C=-1 \end{cases}$

$\begin{cases} A_1+B = 2 \\ 3A_1+A_2+4B = 7 \\ C = 0 \\ 2A_1+A_2=-1 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения четвертое:

$\begin{cases} A_1+B = 2 \\ A_1+4B = 8 \\ C = 0 \\ 2A_1+A_2=-1 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое:

$\begin{cases} A_1+B = 2 \\ 3B = 6 \\ C = 0 \\ 2A_1+A_2=1 \end{cases}$

$\begin{cases} A_1 = 0 \\ B = 2 \\ C = 0 \\ 2A_1+A_2=1 \end{cases}$

$\begin{cases} A_1 = 0 \\ B = 2 \\ C = 0 \\ A_2=-1 \end{cases}$

$\frac{2x^3+7x^2+7x-1}{(x+2)^2\left(x^2+x+1\right)} = -\frac{1}{(x+2)^2} + \frac{2x}{x^2+x+1}$

Тогда:

$\int \frac{2x^3+7x^2+7x-1}{(x+2)^2\left(x^2+x+1\right)} dx = \int \left(-\frac{1}{(x+2)^2} + \frac{2x}{x^2+x+1}\right) dx =$

$= -\int \frac{1}{(x+2)^2} dx + \int \frac{2x+1-1}{x^2+x+1} dx =$

$= \frac{1}{x+2} + \int \frac{2x+1}{x^2+x+1} dx - \int \frac{1}{x^2+x+1} dx =$

$= \frac{1}{x+2} + \int \frac{d\left(x^2+x+1\right)}{x^2+x+1} - \int \frac{4}{4x^2+4x+4} dx =$

$= \frac{1}{x+2} + \ln{\left(x^2+x+1\right)} - 2\int \frac{2}{(2x+1)^2+3} dx =$

$= \frac{1}{x+2} + \ln{\left(x^2+x+1\right)} - 2\int \frac{d(2x+1)}{(2x+1)^2+3} =$

$= \frac{1}{x+2} + \ln{\left(x^2+x+1\right)} - \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \operatorname{arctg}{\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)} + C$