Задача Кузнецов Интегралы 8-1

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{2\operatorname{arctg}{2}} \frac{dx}{\sin^{2}{x}\left(1-\cos{x}\right)}$

Решение

Воспользуемся универсальной подстановкой:

$t=\operatorname{tg}{\frac{x}{2}}$

Откуда:

$\sin{x} = \frac{2t}{1+t^2},\; \cos{x} = \frac{1-t^2}{1+t^2},\; dx = \frac{2dt}{1+t^2}$

$x= \frac{\pi}{2} \Rightarrow t= \operatorname{tg}{\frac{\left(\frac{\pi}{2}\right)}{2}} = \operatorname{tg}{\frac{\pi}{4}} = 1$

$x= 2\operatorname{arctg}{2} \Rightarrow t= \operatorname{tg}{\frac{2\operatorname{arctg}{2}}{2}} = \operatorname{tg}{\left(\operatorname{arctg}{2}\right)} = 2$

Подставим:

$\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{2\operatorname{arctg}{2}} \frac{dx}{\sin^{2}{x}\left(1-\cos{x}\right)} = \int\limits_{1}^{2} \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2\cdot \left(1-\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)} =$

$= \int\limits_{1}^{2} \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{\frac{4t^2}{\left(1+t^2\right)^2}\cdot \frac{1+t^2-1+t^2}{1+t^2}} = \int\limits_{1}^{2} \frac{dt}{\frac{2t^2}{1+t^2}\cdot \frac{2t^2}{1+t^2}} = \int\limits_{1}^{2} \frac{\left(1+t^2\right)^2 dt}{4t^4} =$

$= \int\limits_{1}^{2} \frac{1+2t^2+t^4}{4t^4} dt = \int\limits_{1}^{2} \left(\frac{1}{4t^4}+\frac{1}{2t^2}+\frac{1}{4}\right) dt =$

$= \left. -\frac{1}{12t^3}-\frac{1}{2t}+\frac{t}{4} \right|_{1}^{2} = \left(-\frac{1}{12\cdot 2^3}-\frac{1}{2\cdot 2}+\frac{2}{4}\right) - \left(-\frac{1}{12\cdot 1^3}-\frac{1}{2\cdot 1}+\frac{1}{4}\right) =$

$= -\frac{1}{96}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{12}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4} = \frac{55}{96}$