Задача Кузнецов Интегралы 8-19

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos{x}dx}{\left(1+\cos{x}+\sin{x} \right)^2}$

Решение

Воспользуемся универсальной подстановкой:

$t=\operatorname{tg}{\frac{x}{2}}$

Откуда:

$\sin{x} = \frac{2t}{1+t^2},\; \cos{x} = \frac{1-t^2}{1+t^2},\; dx = \frac{2dt}{1+t^2}$

$x= 0 \Rightarrow t= \operatorname{tg}{\frac{0}{2}} = \operatorname{tg}{0} = 0$

$x= \frac{\pi}{2} \Rightarrow t= \operatorname{tg}{\frac{\left(\frac{\pi}{2}\right)}{2}} = \operatorname{tg}{\frac{\pi}{4}} = 1$

Подставим:

$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos{x}dx}{\left(1+\cos{x}+\sin{x} \right)^2} = \int\limits_0^1 \frac{\frac{1-t^2}{1+t^2}\cdot \frac{2dt}{1+t^2}}{\left(1+\frac{1-t^2}{1+t^2}+\frac{2t}{1+t^2}\right)^2} = \int\limits_0^1 \frac{\frac{1-t^2}{1+t^2}\cdot \frac{2dt}{1+t^2}}{\left(\frac{1+t^2+1-t^2+2t}{1+t^2}\right)^2} =$

$= \int\limits_0^1 \frac{2\left(1-t^2\right) dt}{(2+2t)^2} = \int\limits_0^1 \frac{2(1-t)(1+t)dt}{4(1+t)^2} = \int\limits_0^1 \frac{(1-t)dt}{2(1+t)} = -\frac{1}{2}\cdot \int\limits_0^1 \frac{t+1-2}{1+t}dt =$

$= -\frac{1}{2}\cdot \int\limits_0^1 dt + \int\limits_0^1 \frac{1}{1+t}dt = \left. -\frac{t}{2} \right|_0^1 + \left. \ln{|1+t|} \right|_0^1 =$

$= -\frac{1}{2} + \frac{0}{2} + \ln{|1+1|} - \ln{|0-1|} = -\frac{1}{2} + 0 + \ln{2} - 0 = -\frac{1}{2}+\ln{2}$