Задача Кузнецов Интегралы 8-2

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos{x}dx}{2+\cos{x}}$

Решение

Воспользуемся универсальной подстановкой:

$t=\operatorname{tg}{\frac{x}{2}}$

Откуда:

$\cos{x} = \frac{1-t^2}{1+t^2},\; dx = \frac{2dt}{1+t^2}$

$x= 0 \Rightarrow t= \operatorname{tg}{\frac{0}{2}} = \operatorname{tg}{0} = 0$

$x= \frac{\pi}{2} \Rightarrow t= \operatorname{tg}{\frac{\left(\frac{\pi}{2}\right)}{2}} = \operatorname{tg}{\frac{\pi}{4}} = 1$

Подставим:

$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos{x}dx}{2+\cos{x}} = \int\limits_0^1 \frac{\frac{1-t^2}{1+t^2}\cdot \frac{2dt}{1+t^2}}{2+\frac{1-t^2}{1+t^2}} = \int\limits_0^1 \frac{2\left(1-t^2\right)dt}{\left(1+t^2\right)^2\cdot \frac{2+2t^2+1-t^2}{1+t^2}} =$

$= 2\cdot \int\limits_0^1 \frac{1-t^2}{\left(1+t^2\right)\cdot \left(3+t^2\right)}dt =$

Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

$\frac{1-t^2}{\left(1+t^2\right)\cdot \left(3+t^2\right)} = \frac{At+B}{t^2+1} + \frac{Ct+D}{t^2+3} =$

$= \frac{(At+B)\left(t^2+3\right)+(Ct+D)\left(t^2+1\right)}{\left(t^2+1\right)\left(t^2+3\right)} =$

$= \frac{At^3+3At+Bt^2+3B+Ct^3+Ct+Dt^2+D}{\left(t^2+1\right)\left(t^2+3\right)} =$

$= \frac{(A+C)t^3+(B+D)t^2+(3A+C)t+(3B+D)}{\left(t^2+1\right)\left(t^2+3\right)}$

$\begin{cases} A+C =0 \\ B+D= -1 \\ 3A+C=0 \\ 3B+D=1 \end{cases}$

Вычтем из третьего уравнения первое:

$\begin{cases} A+C =0 \\ B+D= -1 \\ 2A=0 \\ 3B+D=1 \end{cases}$

$\begin{cases} C =0 \\ B+D= -1 \\ A=0 \\ 3B+D=1 \end{cases}$

Вычтем из четвертого уравнения второе:

$\begin{cases} C =0 \\ B+D= -1 \\ A=0 \\ 2B=2 \end{cases}$

$\begin{cases} C =0 \\ D= -2 \\ A=0 \\ B=1 \end{cases}$

$\frac{1-t^2}{\left(1+t^2\right)\cdot \left(3+t^2\right)} = \frac{1}{t^2+1} - \frac{2}{t^2+3}$

Тогда:

$= 2\cdot \int\limits_0^1 \left(\frac{1}{t^2+1} - \frac{2}{t^2+3}\right)dt = 2\cdot \left. \left(\operatorname{arctg}{t} - \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \operatorname{arctg}{\frac{t}{\sqrt{3}}}\right)\right|_0^1 =$

$= 2\cdot \left(\operatorname{arctg}{1} - \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \operatorname{arctg}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right) - 2\cdot \left(\operatorname{arctg}{0} - \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \operatorname{arctg}{\frac{0}{\sqrt{3}}}\right) =$

$= 2\cdot \left(\frac{\pi}{4} - \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\pi}{6}\right) - 2\cdot \left(0 - \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot 0\right) = 2\cdot \left(\frac{9\pi}{36}- \frac{4\sqrt{3}\pi}{36}\right) = \frac{(9- 4\sqrt{3})\pi}{18}$