Задача Кузнецов Интегралы 8-29

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin{x}dx}{2+\sin{x}}$

Решение

Воспользуемся универсальной подстановкой:

$t=\operatorname{tg}{\frac{x}{2}}$

Откуда:

$\sin{x} = \frac{2t}{1+t^2},\; dx = \frac{2dt}{1+t^2}$

$x= 0 \Rightarrow t= \operatorname{tg}{\frac{0}{2}} = \operatorname{tg}{0} = 0$

$x= \frac{\pi}{2} \Rightarrow t= \operatorname{tg}{\frac{\left(\frac{\pi}{2}\right)}{2}} = \operatorname{tg}{\frac{\pi}{4}} = 1$

Подставим:

$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin{x}dx}{2+\sin{x}} = \int\limits_0^1 \frac{\frac{2t}{1+t^2}\cdot \frac{2dt}{1+t^2}}{2+\frac{2t}{1+t^2}} = \int\limits_0^1 \frac{4t\cdot dt}{\left(1+t^2\right)^2\cdot \frac{2+2t^2+2t}{1+t^2}} =$

$= \int\limits_0^1 \frac{2t\cdot dt}{\left(1+t^2\right)\cdot \left(1+t+t^2\right)} =$

Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

$\frac{2t}{\left(1+t^2\right)\cdot \left(1+t+t^2\right)} = \frac{At+B}{t^2+1} + \frac{Ct+D}{t^2+t+1} =$

$= \frac{(At+B)\left(t^2+t+1\right)+(Ct+D)\left(t^2+1\right)}{\left(t^2+1\right)\left(t^2+t+1\right)} =$

$= \frac{At^3+At^2+At+Bt^2+Bt+B+Ct^3+Ct+Dt^2+D}{\left(t^2+1\right)\left(t^2+t+1\right)} =$

$= \frac{(A+C)t^3+(A+B+D)t^2+(A+B+C)t+(B+D)}{\left(t^2+1\right)\left(t^2+t+1\right)}$

$\begin{cases} A+C =0 \\ A+B+D= 0 \\ A+B+C=2 \\ B+D=0 \end{cases}$

Вычтем из третьего уравнения первое:

$\begin{cases} A+C =0 \\ A+B+D= 0 \\ B=2 \\ B+D=0 \end{cases}$

$\begin{cases} A+C =0 \\ A+D= -2 \\ B=2 \\ D=-2 \end{cases}$

$\begin{cases} A+C =0 \\ A=0 \\ B=2 \\ D=-2 \end{cases}$

$\begin{cases} C =0 \\ A=0 \\ B=2 \\ D=-2 \end{cases}$

$\frac{2t}{\left(1+t^2\right)\cdot \left(1+t+t^2\right)} = \frac{2}{t^2+1} - \frac{2}{t^2+t+1}$

Тогда:

$= \int\limits_0^1 \left(\frac{2}{t^2+1} - \frac{2}{t^2+t+1}\right)dt = \int\limits_0^1 \left(\frac{2}{t^2+1} - \frac{2d\left(t+\frac{1}{2}\right)}{\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\right) =$

$= \left. 2\cdot \operatorname{arctg}{t} \right|_0^1 - \left. 2\cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}}} \operatorname{arctg}{\frac{t+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}}} \right|_0^1 = \left. 2\cdot \operatorname{arctg}{t} \right|_0^1 - \left. \frac{4}{\sqrt{3}} \operatorname{arctg}{\frac{2t+1}{\sqrt{3}}} \right|_0^1 =$

$= 2\cdot \operatorname{arctg}{1} - 2\cdot \operatorname{arctg}{0} - \frac{4}{\sqrt{3}} \operatorname{arctg}{\frac{2\cdot 1+1}{\sqrt{3}}} + \frac{4}{\sqrt{3}} \operatorname{arctg}{\frac{2\cdot 0+1}{\sqrt{3}}} =$

$= 2\cdot \frac{\pi}{4} - 0 - \frac{4}{\sqrt{3}} \operatorname{arctg}{\sqrt{3}} + \frac{4}{\sqrt{3}} \operatorname{arctg}{\frac{1}{\sqrt{3}}} =$

$= \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{4}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{3\sqrt{3}} + \frac{2\pi}{3\sqrt{3}} = \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3\sqrt{3}}$