Задача Кузнецов Интегралы 8-3

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{2\operatorname{arctg}{2}} \frac{dx}{\sin^{2}{x}\left(1+\cos{x}\right)}$

Решение

Воспользуемся универсальной подстановкой:

$t=\operatorname{tg}{\frac{x}{2}}$

Откуда:

$\sin{x} = \frac{2t}{1+t^2},\; \cos{x} = \frac{1-t^2}{1+t^2},\; dx = \frac{2dt}{1+t^2}$

$x= \frac{\pi}{2} \Rightarrow t= \operatorname{tg}{\frac{\left(\frac{\pi}{2}\right)}{2}} = \operatorname{tg}{\frac{\pi}{4}} = 1$

$x= 2\operatorname{arctg}{2} \Rightarrow t= \operatorname{tg}{\frac{2\operatorname{arctg}{2}}{2}} = \operatorname{tg}{\left(\operatorname{arctg}{2}\right)} = 2$

Подставим:

$\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{2\operatorname{arctg}{2}} \frac{dx}{\sin^{2}{x}\left(1+\cos{x}\right)} = \int\limits_{1}^{2} \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2\cdot \left(1+\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)} =$

$= \int\limits_{1}^{2} \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{\frac{4t^2}{\left(1+t^2\right)^2}\cdot \frac{1+t^2+1-t^2}{1+t^2}} = \int\limits_{1}^{2} \frac{dt}{\frac{2t^2}{1+t^2}\cdot \frac{2}{1+t^2}} = \int\limits_{1}^{2} \frac{\left(1+t^2\right)^2 dt}{4t^2} =$

$= \int\limits_{1}^{2} \frac{1+2t^2+t^4}{4t^2} dt = \int\limits_{1}^{2} \left(\frac{1}{4t^2}+\frac{1}{2}+\frac{t^2}{4}\right) dt =$

$= \left. -\frac{1}{4t}+\frac{t}{2}+\frac{t^3}{12} \right|_{1}^{2} = \left(-\frac{1}{4\cdot 2}+\frac{2}{2}+\frac{2^3}{12}\right) - \left(-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1^3}{12}\right) =$

$= -\frac{1}{8}+1+\frac{2}{3} +\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-\frac{1}{12} = \frac{29}{24} = 1\frac{5}{24}$