Задача Кузнецов Интегралы 8-31

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin{x}dx}{5+3\sin{x}}$

Решение

Воспользуемся универсальной подстановкой:

$t=\operatorname{tg}{\frac{x}{2}}$

Откуда:

$\sin{x} = \frac{2t}{1+t^2},\; dx = \frac{2dt}{1+t^2}$

$x= 0 \Rightarrow t= \operatorname{tg}{\frac{0}{2}} = \operatorname{tg}{0} = 0$

$x= \frac{\pi}{2} \Rightarrow t= \operatorname{tg}{\frac{\left(\frac{\pi}{2}\right)}{2}} = \operatorname{tg}{\frac{\pi}{4}} = 1$

Подставим:

$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin{x}dx}{5+3\sin{x}} = \int\limits_0^1 \frac{\frac{2t}{1+t^2}\cdot \frac{2dt}{1+t^2}}{5+3\cdot \frac{2t}{1+t^2}} = \int\limits_0^1 \frac{4t\cdot dt}{\left(1+t^2\right)^2\cdot \frac{5+5t^2+6t}{1+t^2}} =$

$= \int\limits_0^1 \frac{4t\cdot dt}{\left(1+t^2\right)\cdot \left(5+6t+5t^2\right)} =$

Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

$\frac{4t}{\left(1+t^2\right)\cdot \left(5+6t+5t^2\right)} = \frac{At+B}{t^2+1} + \frac{Ct+D}{5t^2+6t+5} =$

$= \frac{(At+B)\left(5t^2+6t+5\right)+(Ct+D)\left(t^2+1\right)}{\left(t^2+1\right)\left(5t^2+6t+5\right)} =$

$= \frac{5At^3+6At^2+5At+5Bt^2+6Bt+5B+Ct^3+Ct+Dt^2+D}{\left(t^2+1\right)\left(5t^2+6t+5\right)} =$

$= \frac{(5A+C)t^3+(6A+5B+D)t^2+(5A+6B+C)t+(5B+D)}{\left(t^2+1\right)\left(5t^2+6t+5\right)}$

$\begin{cases} 5A+C =0 \\ 6A+5B+D= 0 \\ 5A+6B+C=4 \\ 5B+D=0 \end{cases}$

Вычтем из третьего уравнения первое:

$\begin{cases} 5A+C =0 \\ 6A+5B+D= 0 \\ 6B=4 \\ 5B+D=0 \end{cases}$

$\begin{cases} 5A+C =0 \\ 6A+D= -\frac{10}{3} \\ B=\frac{2}{3} \\ D=-\frac{10}{3} \end{cases}$

$\begin{cases} 5A+C =0 \\ 6A= 0 \\ B=\frac{2}{3} \\ D=-\frac{10}{3} \end{cases}$

$\begin{cases} C =0 \\ A= 0 \\ B=\frac{2}{3} \\ D=-\frac{10}{3} \end{cases}$

$\frac{4t}{\left(1+t^2\right)\cdot \left(5+6t+5t^2\right)} = \frac{2}{3\left(t^2+1\right)} - \frac{10}{3\left(5t^2+6t+5\right)} = \frac{2}{3\left(t^2+1\right)} - \frac{2}{3\left(t^2+\frac{6}{5}t+1\right)}$

Тогда:

$= \int\limits_0^1 \left(\frac{2}{3\left(t^2+1\right)} - \frac{2}{3\left(t^2+\frac{6}{5}t+1\right)}\right)dt = \int\limits_0^1 \left(\frac{2}{3\left(t^2+1\right)} - \frac{2}{3\left(\left(t+\frac{3}{5}\right)^2+\frac{16}{25}\right)}\right)dt =$

$= \frac{2}{3}\cdot \int\limits_0^1 \frac{dt}{t^2+1} - \frac{2}{3}\cdot \int\limits_0^1 \frac{1}{\left(t+\frac{3}{5}\right)^2+\frac{16}{25}}dt =$

$= \left. \frac{2}{3}\cdot \operatorname{arctg}{t} \right|_0^1 - \left. \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{16}{25}}} \operatorname{arctg}{\frac{t+\frac{3}{5}}{\sqrt{\frac{16}{25}}}} \right|_0^1 = \left. \frac{2}{3}\cdot \operatorname{arctg}{t} \right|_0^1 - \left. \frac{5}{6} \operatorname{arctg}{\frac{5t+3}{4}} \right|_0^1 =$

$= \frac{2}{3}\cdot \operatorname{arctg}{1} - \frac{2}{3}\cdot \operatorname{arctg}{0} - \frac{5}{6} \operatorname{arctg}{\frac{5\cdot 1+3}{4}} + \frac{5}{6} \operatorname{arctg}{\frac{5\cdot 0+3}{4}} =$

$= \frac{2}{3}\cdot \frac{\pi}{4} - 0 - \frac{5}{6} \operatorname{arctg}{2} + \frac{5}{6} \operatorname{arctg}{\frac{3}{4}} = \frac{\pi}{6} - \frac{5}{6} \operatorname{arctg}{2} + \frac{5}{6} \operatorname{arctg}{\frac{3}{4}}=$

$= \frac{\pi - 5\operatorname{arctg}{2} + 5\operatorname{arctg}{\frac{3}{4}}}{6}$