Задача Кузнецов Интегралы 9-1

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_{\pi / 4}^{\operatorname{arctg}{3}} \frac{dx}{\left(3\operatorname{tg}{x}+5\right)\sin{2x}}$

Решение

Воспользуемся подстановкой:

$t=\operatorname{tg}{x}$

Откуда:

$\sin{2x} = \frac{2t}{1+t^2},\; dx = \frac{dt}{1+t^2}$

$x= \frac{\pi}{4} \Rightarrow t= \operatorname{tg}{\frac{\pi}{4}} = 1$

$x= \operatorname{arctg}{3} \Rightarrow t= \operatorname{tg}{\left(\operatorname{arctg}{3}\right)} = 3$

Подставим:

$\int\limits_{\pi / 4}^{\operatorname{arctg}{3}} \frac{dx}{\left(3\operatorname{tg}{x}+5\right)\sin{2x}} = \int\limits_1^3 \frac{\frac{dt}{1+t^2}}{(3t+5)\cdot \frac{2t}{1+t^2}} = \frac{1}{2}\cdot \int\limits_1^3 \frac{dt}{t(3t+5)} =$

Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

$\frac{1}{t(3t+5)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{3t+5} = \frac{A(3t+5)+Bt}{t(3t+5)}= \frac{(3A+B)t+5A}{t(3t+5)}$

$\begin{cases} 3A+B =0 \\ 5A= 1 \end{cases}$

$\begin{cases} B =-\frac{3}{5} \\ A= \frac{1}{5} \end{cases}$

$\frac{1}{t(3t+5)} = \frac{1}{5t} - \frac{3}{5(3t+5)}$

Тогда:

$= \frac{1}{2}\cdot \int\limits_1^3 \left(\frac{1}{5t} - \frac{3}{5(3t+5)}\right)dt = \frac{1}{10}\cdot \left(\int\limits_1^3 \frac{dt}{t} - \int\limits_1^3 \frac{d(3t+5)}{3t+5}\right) =$

$= \frac{1}{10}\cdot \left. \left(\ln{|t|} - \ln{|3t+5|}\right)\right|_1^3 = \frac{1}{10}\cdot \left. \left(\ln{\left|\frac{t}{3t+5}\right|}\right)\right|_1^3 =$

$= \frac{1}{10}\left(\ln{\left|\frac{3}{3\cdot 3+5}\right|} - \ln{\left|\frac{1}{3\cdot 1+5}\right|}\right) =$

$= \frac{1}{10}\left(\ln{\frac{3}{14}} - \ln{\frac{1}{8}}\right) = \frac{1}{10}\ln{\frac{3\cdot 8}{14}} = \frac{1}{10}\ln{\frac{12}{7}}$