Задача Кузнецов Интегралы 9-25

У этой задачи может быть и другое условие (возможно из-за разных изданий или ошибки). Подробней см. 9-25(2)

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_{\pi / 4}^{\arccos{\left(1 / \sqrt {26}\right)}} \frac{dx}{\left(6-\operatorname{tg}{x} \right)\sin{2x}}$

Решение

Воспользуемся подстановкой:

$t=\operatorname{tg}{x}$

Откуда:

$\sin{2x} = \frac{2t}{1+t^2},\; dx = \frac{dt}{1+t^2}$

$x= \frac{\pi}{4} \Rightarrow t= \operatorname{tg}{\frac{\pi}{4}} = 1$

$x= \arccos{\frac{1}{\sqrt{26}}} \Rightarrow t= \operatorname{tg}{\left(\arccos{\frac{1}{\sqrt{26}}}\right)} = \sqrt{\frac{1}{\cos^{2}{\left(\arccos{\frac{1}{\sqrt{26}}}\right)}} -1} =$

$= \sqrt{\frac{1}{\left(\frac{1}{26}\right)} -1} = \sqrt{26 -1} = \sqrt{25}=5$

Подставим:

$\int\limits_{\pi / 4}^{\arccos{\left(1 / \sqrt {26}\right)}} \frac{dx}{\left(6-\operatorname{tg}{x} \right)\sin{2x}} = \int\limits_1^5 \frac{1}{(6-t)\cdot \frac{2t}{1+t^2}}\cdot \frac{dt}{1+t^2} =$

$= \int\limits_1^5 \frac{1}{2t(6-t)} dt = -\frac{1}{2}\cdot \int\limits_1^5 \frac{1}{t(t-6)} dt =$

Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

$\frac{1}{t(t-6)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t-6} = \frac{A(t-6) + Bt}{t(t-6)} = \frac{(A+B)t-6A}{t(t-6)}$

$\begin{cases} A+B =0 \\ -6A= 1 \end{cases}$

$\begin{cases} B = \frac{1}{6} \\ A=-\frac{1}{6} \end{cases}$

$\frac{1}{t(t-6)} = -\frac{1}{6t} + \frac{1}{6(t-6)}$

Получаем:

$= -\frac{1}{2}\cdot \int\limits_1^5 \left(-\frac{1}{6t} + \frac{1}{6(t-6)}\right)dt = \frac{1}{12}\cdot \int\limits_1^5 \left(\frac{1}{t} - \frac{1}{t-6}\right)dt =$

$= \left. \frac{1}{12}\cdot \left(\ln{|t|} - \ln{|t-6|}\right) \right|_1^5 = \frac{1}{12}\cdot \left(\ln{|5|} - \ln{|5-6|}\right) - \frac{1}{12}\cdot \left(\ln{|1|} - \ln{|1-6|}\right) =$

$= \frac{1}{12}\cdot \left(\ln{5} - \ln{1}\right) - \frac{1}{12}\cdot \left(\ln{1} - \ln{5}\right) = \frac{1}{12}\cdot \ln{5} + \frac{1}{12}\cdot \ln{5} = \frac{\ln{5}}{6}$