Задача Кузнецов Интегралы 9-29

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_{\arccos{\left(1 / \sqrt{10}\right)}}^{\arccos{\left(1 / \sqrt{26}\right)}} \frac{12dx}{\left(6+5\operatorname{tg}{x} \right)\sin{2x}}$

Решение

Воспользуемся подстановкой:

$t=\operatorname{tg}{x}$

Откуда:

$\sin{2x} = \frac{2t}{1+t^2},\; dx = \frac{dt}{1+t^2}$

$x= \arccos{\frac{1}{\sqrt{10}}} \Rightarrow t= \operatorname{tg}{\left(\arccos{\frac{1}{\sqrt{10}}}\right)} = \sqrt{\frac{1}{\cos^{2}{\left(\arccos{\frac{1}{\sqrt{10}}}\right)}} -1} =$

$= \sqrt{\frac{1}{\left(\frac{1}{10}\right)} -1} = \sqrt{10 -1} = \sqrt{9}=3$

$x= \arccos{\frac{1}{\sqrt{26}}} \Rightarrow t= \operatorname{tg}{\left(\arccos{\frac{1}{\sqrt{26}}}\right)} = \sqrt{\frac{1}{\cos^{2}{\left(\arccos{\frac{1}{\sqrt{26}}}\right)}} -1} =$

$= \sqrt{\frac{1}{\left(\frac{1}{26}\right)} -1} = \sqrt{26 -1} = \sqrt{25}=5$

Подставим:

$\int\limits_{\arccos{\left(1 / \sqrt{10}\right)}}^{\arccos{\left(1 / \sqrt{26}\right)}} \frac{12dx}{\left(6+5\operatorname{tg}{x} \right)\sin{2x}} = \int\limits_3^5 \frac{12}{(6+5t)\cdot \frac{2t}{1+t^2}}\cdot \frac{dt}{1+t^2} =$

$= \int\limits_3^5 \frac{6}{t(6+5t)}dt =$

Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

$\frac{6dt}{t(6+5t)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{6+5t} = \frac{A(6+5t)+Bt}{t(6+5t)} = \frac{(5A+B)t+6A}{t(6+5t)}$

$\begin{cases} 5A+B =0 \\ 6A= 6 \end{cases}$

$\begin{cases} B =-5 \\ A= 1 \end{cases}$

$\frac{6dt}{t(6+5t)} = \frac{1}{t} - \frac{5}{6+5t}$

Получаем:

$= \int\limits_3^5 \left(\frac{1}{t} - \frac{5}{6+5t}\right)dt = \int\limits_3^5 \frac{dt}{t} - \int\limits_3^5 \frac{d(5t+6)}{6+5t} =$

$= \left. \ln{|t|}\right|_3^5 - \left. \ln{|5t+6|}\right|_3^5 = \ln{|5|} - \ln{|3|} - \ln{|5\cdot 5+6|} + \ln{|5\cdot 3+6|} =$

$= \ln{\frac{5}{3}} - \ln{31} + \ln{21} = \ln{\frac{5\cdot 21}{3\cdot 31}} = \ln{\frac{105}{93}}$