Задача Кузнецов Интегралы 9-3

У этой задачи может быть и другое условие (возможно из-за разных изданий или ошибки). Подробней см. 9-3(2)

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_0^{\arccos{\frac{4}{\sqrt{17}}}} \frac{3+2\operatorname{tg}{x}}{2\sin^{2}{x}+3\cos^{2}{x}-1}dx$

Решение

$\int\limits_0^{\arccos{\frac{4}{\sqrt{17}}}} \frac{3+2\operatorname{tg}{x}}{2\sin^{2}{x}+3\cos^{2}{x}-1}dx = \int\limits_0^{\arccos{\frac{4}{\sqrt{17}}}} \frac{3+2\operatorname{tg}{x}}{2+\cos^{2}{x}-1}dx =$

$= \int\limits_0^{\arccos{\frac{4}{\sqrt{17}}}} \frac{3+2\operatorname{tg}{x}}{1+\cos^{2}{x}}dx =$

Воспользуемся подстановкой:

$t=\operatorname{tg}{x}$

Откуда:

$\cos^{2}{x} = \frac{1}{1+t^2},\; dx = \frac{dt}{1+t^2}$

$x= 0 \Rightarrow t= \operatorname{tg}{0} = 0$

$x= \arccos{\frac{4}{\sqrt{17}}} \Rightarrow t= \operatorname{tg}{\left(\arccos{\frac{4}{\sqrt{17}}}\right)} = \sqrt{\frac{1}{\cos^{2}{\left(\arccos{\frac{4}{\sqrt{17}}}\right)}} -1} =$

$= \sqrt{\frac{1}{\left(\frac{16}{17}\right)} -1} = \sqrt{\frac{17}{16} -1} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$

Подставим:

$= \int\limits_0^{\frac{1}{4}} \frac{3+2t}{1+\frac{1}{1+t^2}}\cdot \frac{dt}{1+t^2} = \int\limits_0^{\frac{1}{4}} \frac{3+2t}{1+t^2 +1}dt = \int\limits_0^{\frac{1}{4}} \frac{3+2t}{2+t^2}dt =$

$= 3\cdot \int\limits_0^{\frac{1}{4}} \frac{1}{2+t^2}dt + \int\limits_0^{\frac{1}{4}} \frac{d\left(t^2+2\right)}{2+t^2}dt = 3\cdot \left. \frac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{arctg}{\frac{t}{\sqrt{2}}} \right|_0^{\frac{1}{4}} + \left. \ln{\left(t^2+2\right)} \right|_0^{\frac{1}{4}} =$

$= \frac{3}{\sqrt{2}}\operatorname{arctg}{\frac{\left(\frac{1}{4}\right)}{\sqrt{2}}} - \frac{3}{\sqrt{2}}\operatorname{arctg}{\frac{0}{\sqrt{2}}} + \ln{\left(\left(\frac{1}{4}\right)^2+2\right)} - \ln{\left(0^2+2\right)} =$

$= \frac{3}{\sqrt{2}}\operatorname{arctg}{\frac{1}{4\sqrt{2}}} + \ln{\left(\frac{1}{16}+2\right)} - \ln{2} =$

$= \frac{3}{\sqrt{2}}\operatorname{arctg}{\frac{1}{4\sqrt{2}}} + \ln{\frac{33}{16}} - \ln{2} = \frac{3}{\sqrt{2}}\operatorname{arctg}{\frac{1}{4\sqrt{2}}} + \ln{\frac{33}{32}}$