Задача Кузнецов Интегралы 9-3(2)

У этой задачи может быть и другое условие (возможно из-за разных изданий или ошибки). Подробней см. 9-3

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_0^{\arccos{\frac{1}{\sqrt{17}}}} \frac{3+2\operatorname{tg}{x}}{2\sin^{2}{x}+3\cos^{2}{x}-1}dx$

Решение

$\int\limits_0^{\arccos{\frac{1}{\sqrt{17}}}} \frac{3+2\operatorname{tg}{x}}{2\sin^{2}{x}+3\cos^{2}{x}-1}dx = \int\limits_0^{\arccos{\frac{1}{\sqrt{17}}}} \frac{3+2\operatorname{tg}{x}}{2+\cos^{2}{x}-1}dx =$

$= \int\limits_0^{\arccos{\frac{1}{\sqrt{17}}}} \frac{3+2\operatorname{tg}{x}}{1+\cos^{2}{x}}dx =$

Воспользуемся подстановкой:

$t=\operatorname{tg}{x}$

Откуда:

$\cos^{2}{x} = \frac{1}{1+t^2},\; dx = \frac{dt}{1+t^2}$

$x= 0 \Rightarrow t= \operatorname{tg}{0} = 0$

$x= \arccos{\frac{1}{\sqrt{17}}} \Rightarrow t= \operatorname{tg}{\left(\arccos{\frac{1}{\sqrt{17}}}\right)} = \sqrt{\frac{1}{\cos^{2}{\left(\arccos{\frac{1}{\sqrt{17}}}\right)}} -1} =$

$= \sqrt{\frac{1}{\left(\frac{1}{17}\right)} -1} = \sqrt{17 -1} = \sqrt{16} = 4$

Подставим:

$= \int\limits_0^4 \frac{3+2t}{1+\frac{1}{1+t^2}}\cdot \frac{dt}{1+t^2} = \int\limits_0^4 \frac{3+2t}{1+t^2 +1}dt = \int\limits_0^4 \frac{3+2t}{2+t^2}dt =$

$= 3\cdot \int\limits_0^4 \frac{1}{2+t^2}dt + \int\limits_0^4 \frac{d\left(t^2+2\right)}{2+t^2}dt = 3\cdot \left. \frac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{arctg}{\frac{t}{\sqrt{2}}} \right|_0^4 + \left. \ln{\left(t^2+2\right)} \right|_0^4 =$

$= \frac{3}{\sqrt{2}}\operatorname{arctg}{\frac{4}{\sqrt{2}}} - \frac{3}{\sqrt{2}}\operatorname{arctg}{\frac{0}{\sqrt{2}}} + \ln{\left(4^2+2\right)} - \ln{\left(0^2+2\right)} =$

$= \frac{3}{\sqrt{2}}\operatorname{arctg}{\left(2\sqrt{2}\right)} + \ln{(16+2)} - \ln{2} =$

$= \frac{3}{\sqrt{2}}\operatorname{arctg}{\left(2\sqrt{2}\right)} + \ln{\frac{18}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}\operatorname{arctg}{\left(2\sqrt{2}\right)} + \ln{9}$