Задача Кузнецов Интегралы 9-31

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_0^{\arccos{\left(1 / \sqrt{6} \right)}} \frac{3\operatorname{tg}^{2}{x}-1}{\operatorname{tg}^{2}{x}+5}$

Решение

Воспользуемся подстановкой:

$t=\operatorname{tg}{x}$

Откуда:

$dx = \frac{dt}{1+t^2}$

$x= 0 \Rightarrow t= \operatorname{tg}{0} = 0$

$x= \arccos{\frac{1}{\sqrt{6}}} \Rightarrow t= \operatorname{tg}{\left(\arccos{\frac{1}{\sqrt{6}}}\right)} = \sqrt{\frac{1}{\cos^{2}{\left(\arccos{\frac{1}{\sqrt{6}}}\right)}} -1} =$

$= \sqrt{\frac{1}{\left(\frac{1}{6}\right)} -1} = \sqrt{6 -1} = \sqrt{5}$

Подставим:

$\int\limits_0^{\arccos{\left(1 / \sqrt{6} \right)}} \frac{3\operatorname{tg}^{2}{x}-1}{\operatorname{tg}^{2}{x}+5} = \int\limits_0^{\sqrt{5}} \frac{3t^2-1}{t^2+5}\cdot \frac{dt}{1+t^2} = \int\limits_0^{\sqrt{5}} \frac{3t^2-1}{\left(t^2+5\right)\left(t^2+1\right)}dt =$

Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

$\frac{3t^2-1}{\left(t^2+5\right)\left(t^2+1\right)} = \frac{At+B}{5+t^2} + \frac{Ct+D}{1+t^2} =$

$= \frac{(At+B)\cdot \left(1+t^2\right) + (Ct+D)\cdot \left(5+t^2\right)}{\left(5+t^2\right)\left(1+t^2\right)} =$

$= \frac{At+At^3+B+Bt^2 + 5Ct+Ct^3+5D+Dt^2}{\left(5+t^2\right)\left(1+t^2\right)} =$

$= \frac{(A+C)t^3 + (B+D)t^2 + (A+5C)t + (B+5D)}{\left(5+t^2\right)\left(1+t^2\right)}$

$\begin{cases} A+C =0 \\ B+D= 3 \\ A+5C=0 \\ B+5D=-1 \end{cases}$

$\begin{cases} A = -C \\ B= 3 -D\\ -C+5C=0 \\ 3 -D+5D=-1 \end{cases}$

$\begin{cases} A = 0 \\ B= 3 -D\\ C=0 \\ 4D=-4 \end{cases}$

$\begin{cases} A = 0 \\ B= 4 \\ C=0 \\ D=-1 \end{cases}$

$\frac{3t^2-1}{\left(t^2+5\right)\left(t^2+1\right)} = \frac{4}{5+t^2} - \frac{1}{1+t^2}$

Получаем:

$= \int\limits_0^{\sqrt{5}} \left(\frac{4}{5+t^2} - \frac{1}{1+t^2}\right)dt = 4\cdot \int\limits_0^{\sqrt{5}} \frac{1}{5+t^2}dt - \int\limits_0^{\sqrt{5}} \frac{1}{1+t^2}dt =$

$= \left. 4\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \operatorname{arctg}{\frac{t}{\sqrt{5}}}\right|_0^{\sqrt{5}} - \left. \operatorname{arctg}{t}\right|_0^{\sqrt{5}} =$

$= \frac{4}{\sqrt{5}}\cdot \operatorname{arctg}{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}} - \frac{4}{\sqrt{5}}\cdot \operatorname{arctg}{\frac{0}{\sqrt{5}}} - \operatorname{arctg}{\sqrt{5}} + \operatorname{arctg}{0} =$

$= \frac{4}{\sqrt{5}}\cdot \operatorname{arctg}{1} - 0 - \operatorname{arctg}{\sqrt{5}} + 0 = \frac{4}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\pi}{4} - \operatorname{arctg}{\sqrt{5}} =$

$= \frac{\pi}{\sqrt{5}} - \operatorname{arctg}{\sqrt{5}}$