Задача Кузнецов Пределы 1-1

Условие задачи

Доказать, что $\lim_{n\to\infty} {a_{n}} = a$ (указать $N(\varepsilon)$).

$a_{n} = \frac {3n - 2} {2n - 1}, \ a = \frac {3} {2}$

Решение

По определению предела:

$\forall \varepsilon >0: \exists N(\varepsilon)\in {\mathbb N}: \forall n: n \geq N(\varepsilon): |a_{n} - a| < \varepsilon$:

$\left|\frac {3n-2} {2n-1} - \frac {3} {2}\right| < \varepsilon;$

Проведем преобразования:

$\left|\frac {2(3n-2)-3(2n-1)} {2(2n-1)}\right| < \varepsilon; =>$

$\left|\frac {6n-4-6n+3} {2(2n-1)}\right| < \varepsilon; =>$

$\left|\frac {-1} {2(2n-1)}\right| < \varepsilon; =>$

$\left|\frac {1} {2(2n-1)}\right| < \varepsilon; =>$

Поскольку $\forall n \in {\mathbb N}: \frac {1} {2(2n-1)} > 0$, то

$\frac {1} {2(2n-1)} < \varepsilon; =>$

$2n-1 > \frac {1} {2\varepsilon}; =>$

$n > \frac {1} {2} \left(\frac {1} {2\varepsilon} + 1\right);$ (*)

Очевидно, что предел существует и равен $\frac {3} {2}$. Из (*) легко посчитать $N(\varepsilon)$ :

$N(\varepsilon) = \left[\frac {1} {2}\left(\frac {1} {2\varepsilon}+1\right)\right] + 1 = \left[\frac {3} {2} + \frac {1} {4\varepsilon}\right] = \left[\frac {1 + 6\varepsilon} {4\varepsilon}\right]$