Задача Кузнецов Пределы 1-19

Условие задачи

Доказать, что $\lim_{n\to\infty} {a_{n}} = a$ (указать $N(\varepsilon)$ ).

$a_{n} = \frac {3 - n^2} {4 + 2n^2},\ a = - \frac {1} {2}$

Решение

По определению предела:

$\forall \varepsilon >0: \exists N(\varepsilon)\in {\mathbb N}: \forall n: n \geq N(\varepsilon): |a_{n} - a| < \varepsilon$:

$\left|\frac {3 - n^2} {4 + 2n^2} - \left(-\frac {1} {2}\right)\right| < \varepsilon;$

Проведем преобразования:

$\left|\frac {3 - n^2} {4 + 2n^2} + \frac {1} {2}\right| < \varepsilon;$

$\left|\frac {2(3 - n^2) + (4 + 2n^2)} {2(4 + 2n^2)}\right| < \varepsilon; =>$

$\left|\frac {6 - 2n^2 + 4 + 2n^2} {2(4 + 2n^2)}\right| < \varepsilon; =>$

$\left|\frac {10} {2(4 + 2n^2)}\right| < \varepsilon; =>$

$\left|\frac {5} {2(2 + n^2)}\right| < \varepsilon; =>$

$\frac {5} {2(2 + n^2)} < \varepsilon; =>$

$2 + n^2 > \frac {5} {2\varepsilon}; =>$

$n^2 > \frac {5} {2\varepsilon} - 2;$

Последнее неравенство будет так же выполняться, если перейдем к более сильному неравенству.

$n > \sqrt{\left|\frac {5} {2\varepsilon} - 2\right|};$ (*)

Очевидно, что предел существует и равен $- \frac {1} {2}$.
Из (*) легко посчитать $N(\varepsilon)$:

$N(\varepsilon) = \left[\sqrt{\left|\frac {5} {2\varepsilon} - 2\right|}\right] + 1$