Задача Кузнецов Пределы 1-2

Условие задачи

Доказать, что $\lim_{n\to\infty} {a_{n}} = a$ (указать $N(\varepsilon)$ ).

$a_{n} = \frac {4n - 1} {2n + 1},\ a = 2$

Решение

По определению предела:

$\forall \varepsilon >0: \exists N(\varepsilon)\in {\mathbb N}: \forall n: n \geq N(\varepsilon): |a_{n} - a| < \varepsilon$:

$\left|\frac {4n - 1} {2n + 1} - 2\right| < \varepsilon;$

Проведем преобразования:

$\left|\frac {4n - 1 - 2(2n + 1)} {2n + 1}\right| < \varepsilon; =>$

$\left|\frac {4n - 1 - 4n - 2} {2n + 1}\right| < \varepsilon; =>$

$\left|\frac {-3} {2n + 1}\right| < \varepsilon; =>$

$\frac {3} {2n + 1} < \varepsilon; =>$

$2n + 1 > \frac {3} {\varepsilon}; =>$

$n > \frac {1} {2} \left(\frac {3} {\varepsilon} - 1\right);$ (*)

Очевидно, что предел существует и равен 2.
Из (*) легко посчитать $N(\varepsilon)$ :

$N(\varepsilon) = \left[\frac {1} {2}\left(\frac {3} {\varepsilon} - 1\right)\right] + 1 = \left[\frac {1} {2} + \frac {3} {2\varepsilon}\right]= \left[\frac {3 + \varepsilon} {2\varepsilon}\right]$