Задача Кузнецов Пределы 1-29

Условие задачи

Доказать, что $\lim_{n\to\infty} {a_{n}} = a$ (указать $N(\varepsilon)$ ).

$a_{n} = \frac {3n^2 + 2} {4n^2 - 1},\ a = \frac {3} {4}$

Решение

По определению предела:

$\forall \varepsilon >0: \exists N(\varepsilon)\in {\mathbb N}: \forall n: n \geq N(\varepsilon): |a_{n} - a| < \varepsilon$:

$\left|\frac {3n^2 + 2} {4n^2 - 1} - \frac {3} {4}\right| < \varepsilon;$

Проведем преобразования:

$\left|\frac {4(3n^2 + 2) - 3(4n^2 - 1)} {4(4n^2 - 1)}\right| < \varepsilon; =>$

$\left|\frac {12n^2 + 8 - 12n^2 + 3} {4(4n^2 - 1)}\right| < \varepsilon; =>$

$\left|\frac {11} {4(4n^2 - 1)}\right| < \varepsilon; =>$

$\frac {11} {4(4n^2 - 1)} < \varepsilon; =>$

$4n^2 - 1 > \frac {11} {4\varepsilon}; =>$

$n^2 > \frac {1} {4} \left(\frac {11} {4\varepsilon} + 1\right);$

Последнее неравенство будет так же выполняться, если перейдем к более сильному неравенству.

$n > \frac {1} {2} \sqrt{\left|\frac {11} {4\varepsilon} + 1\right|};$ (*)

Очевидно, что предел существует и равен $\frac {3} {4}$.
Из (*) легко посчитать $N(\varepsilon)$ :

$N(\varepsilon) = \left[\frac {1} {2} \sqrt{\left|\frac {11} {4\varepsilon} + 1\right|}\right] + 1$