Задача Кузнецов Пределы 1-3

Условие задачи

Доказать, что $\lim_{n\to\infty} {a_{n}} = a$ (указать $N(\varepsilon)$ ).

$a_{n} = \frac {7n + 4} {2n + 1},\ a = \frac {7} {2}$

Решение

По определению предела:

$\forall \varepsilon >0: \exists N(\varepsilon)\in {\mathbb N}: \forall n: n \geq N(\varepsilon): |a_{n} - a| < \varepsilon$:

$\left|\frac {7n + 4} {2n + 1} - \frac {7} {2}\right| < \varepsilon;$

Проведем преобразования:

$\left|\frac {2(7n + 4) - 7(2n + 1)} {2(2n + 1)}\right| < \varepsilon; =>$

$\left|\frac {14n + 8 - 14n - 7} {2(2n + 1)}\right| < \varepsilon; =>$

$\left|\frac {1} {2(2n + 1)}\right| < \varepsilon; =>$

$\frac {1} {2(2n + 1)} < \varepsilon; =>$

$2n + 1 > \frac {1} {2\varepsilon}; =>$

$n > \frac {1} {2} \left(\frac {1} {2\varepsilon} - 1\right);$ (*)

Очевидно, что предел существует и равен $\frac {7} {2}$.
Из (*) легко посчитать $N(\varepsilon)$ :

$N(\varepsilon) = \left[\frac {1} {2}\left(\frac {1} {2\varepsilon} - 1\right)\right] + 1 = \left[\frac {1} {2} + \frac {1} {4\varepsilon}\right] = \left[\frac {1 + 2\varepsilon} {4\varepsilon}\right]$