Задача Кузнецов Пределы 1-31

Условие задачи

Доказать, что $\lim_{n\to\infty} {a_{n}} = a$ (указать $N(\varepsilon)$ ).

$a_{n} = \frac {2n^3} {n^3 - 2},\ a = 2$

Решение

По определению предела:

$\forall \varepsilon >0: \exists N(\varepsilon)\in {\mathbb N}: \forall n: n \geq N(\varepsilon): |a_{n} - a| < \varepsilon$:

$\left|\frac {2n^3} {n^3 - 2} - 2\right| < \varepsilon;$

Проведем преобразования:

$\left|\frac {2n^3 - 2(n^3 - 2)} {n^3 - 2}\right| < \varepsilon; =>$

$\left|\frac {2n^3 - 2n^3 + 4} {n^3 - 2}\right| < \varepsilon; =>$

$\left|\frac {4} {n^3 - 2}\right| < \varepsilon; =>$

$\frac {4} {n^3 - 2} < \varepsilon; =>$

$n^3 - 2 > \frac {4} {\varepsilon}; =>$

$n^3 > 2 + \frac {4} {\varepsilon};$

$n > \sqrt[3]{2 + \frac {4} {\varepsilon}};$ (*)

Очевидно, что предел существует и равен 2.
Из (*) легко посчитать $N(\varepsilon)$ :

$N(\varepsilon) = \left[\sqrt[3]{2 + \frac {4} {\varepsilon}}\right] + 1$