Задача Кузнецов Пределы 1-9

Условие задачи

Доказать, что $\lim_{n\to\infty} {a_{n}} = a$ (указать $N(\varepsilon)$).

$a_{n} = \frac {1 - 2n^2} {2 + 4n^2},\ a = - \frac {1} {2}$

Решение

По определению предела:

$\forall \varepsilon >0: \exists N(\varepsilon)\in {\mathbb N}: \forall n: n \geq N(\varepsilon): |a_{n} - a| < \varepsilon$:

$\left|\frac {1 - 2n^2} {2 + 4n^2} - \left(-\frac {1} {2}\right)\right| < \varepsilon;$

Проведем преобразования:

$\left|\frac {1 - 2n^2} {2 + 4n^2} + \frac {1} {2}\right| < \varepsilon;$

$\left|\frac {2(1 - 2n^2) + (2 + 4n^2)} {2(2 + 4n^2)}\right| < \varepsilon; =>$

$\left|\frac {2 - 4n^2 + 2 + 4n^2} {2(2 + 4n^2)}\right| < \varepsilon; =>$

$\left|\frac {4} {2(2 + 4n^2)}\right| < \varepsilon; =>$

$\left|\frac {1} {1 + 2n^2}\right| < \varepsilon; =>$

$\frac {1} {1 + 2n^2} < \varepsilon; =>$

$1 + 2n^2 > \frac {1} {\varepsilon}; =>$

$n^2 > \frac {1} {2} \left(\frac {1} {\varepsilon} - 1\right);$

Последнее неравенство будет так же выполняться, если перейдем к более сильному неравенству.

$n > \sqrt{\frac {1} {2} \left|\frac {1} {\varepsilon} - 1\right|};$ (*)

Очевидно, что предел существует и равен $- \frac {1} {2}$.
Из (*) легко посчитать $N(\varepsilon)$ :

$N(\varepsilon) = \left[\sqrt{\frac {1} {2} \left|\frac {1} {\varepsilon} - 1\right|}\right] + 1$