Задача Кузнецов Пределы 10-1

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1+2x} -3}{\sqrt{x} -2}$

Решение

$\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1+2x} -3}{\sqrt{x} -2} = \left\{\frac{0}{0}\right\} = \lim_{x\to 4} \frac{\left(\sqrt{1+2x} -3\right)\left(\sqrt{1+2x} +3\right)}{\left(\sqrt{x} -2\right)\left(\sqrt{1+2x} +3\right)} =$

$= \lim_{x\to 4} \frac{1+2x - 9}{\left(\sqrt{x} -2\right)\left(\sqrt{1+2x} +3\right)} = \lim_{x\to 4} \frac{2(x - 4)}{\left(\sqrt{x} -2\right)\left(\sqrt{1+2x} +3\right)} =$

$= \lim_{x\to 4} \frac{2\left(\sqrt{x} -2\right)\left(\sqrt{x} +2\right)}{\left(\sqrt{x} -2\right)\left(\sqrt{1+2x} +3\right)}= \lim_{x\to 4} \frac{2\sqrt{x} +4}{\sqrt{1+2x} +3} =$

$= \frac{2\sqrt{4} +4}{\sqrt{1+2\cdot 4} +3} = \frac{2\cdot 2 + 4}{\sqrt{9}+3}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}$