Задача Кузнецов Пределы 10-2

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to -8} \frac{\sqrt {1-x} -3}{2+\sqrt[3]{x}}$

Решение

$\lim_{x\to -8} \frac{\sqrt {1-x} -3}{2+\sqrt[3]{x}} = \left\{\frac{0}{0}\right\} = \lim_{x\to -8} \frac{\left(\sqrt {1-x} -3\right)\left(\sqrt {1-x} +3\right)}{\left(2+\sqrt[3]{x}\right)\left(\sqrt {1-x} +3\right)} =$

$= \lim_{x\to -8} \frac{1-x -9}{\left(2+\sqrt[3]{x}\right)\left(\sqrt {1-x} +3\right)} =\lim_{x\to -8} \frac{-(8 + x)}{\left(2+\sqrt[3]{x}\right)\left(\sqrt {1-x} +3\right)} =$

$= \lim_{x\to -8} \frac{-\left(2 + \sqrt[3]{x}\right)\left(4-2\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2}\right)}{\left(2+\sqrt[3]{x}\right)\left(\sqrt {1-x} +3\right)} = \lim_{x\to -8} \frac{-4+2\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt {1-x} +3} =$

$= \frac{-4+2\sqrt[3]{-8}-\sqrt[3]{(-8)^2}}{\sqrt {1-(-8)} +3} =\frac{-4+2\cdot (-2)-4}{\sqrt {9} +3} =\frac{-12}{6} = -2$