Задача Кузнецов Пределы 10-29

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt[3]{x^2-16}}$

Решение

$\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt[3]{x^2-16}} = \lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt[3]{(x-4)(x+4)}} =$

$= \lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt[3]{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)(x+4)}} =$

$= \lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt[3]{(\sqrt{x}-2)}\sqrt[3]{(\sqrt{x}+2)(x+4)}} =$

$= \lim_{x\to 4} \frac{\sqrt[3]{\left(\sqrt{x}-2\right)^2}}{\sqrt[3]{(\sqrt{x}+2)(x+4)}} = \frac{\sqrt[3]{\left(\sqrt{4}-2\right)^2}}{\sqrt[3]{(\sqrt{4}+2)(4+4)}} =$

$= \frac{\sqrt[3]{0^2}}{\sqrt[3]{(2+2)8}} =0$