Задача Кузнецов Пределы 10-31

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 3} \frac{\sqrt{x+13}-2\sqrt{x+1}}{\sqrt[3]{x^2-9}}$

Решение

$\lim_{x\to 3} \frac{\sqrt{x+13}-2\sqrt{x+1}}{\sqrt[3]{x^2-9}} = \lim_{x\to 3} \frac{\left(\sqrt{x+13}-2\sqrt{x+1}\right)\left(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1}\right)}{\sqrt[3]{x^2-9}\left(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1}\right)} =$

$= \lim_{x\to 3} \frac{x+13-4(x+1)}{\sqrt[3]{x^2-9}\left(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1}\right)} =$

$= \lim_{x\to 3} \frac{-3x+9}{\sqrt[3]{(x-3)(x+3)}\left(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1}\right)} =$

$= \lim_{x\to 3} \frac{-3(x-3)}{\sqrt[3]{x-3}\sqrt[3]{x+3}\left(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1}\right)} =$

$= \lim_{x\to 3} \frac{-3\sqrt[3]{(x-3)^2}}{\sqrt[3]{x+3}\left(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1}\right)} = \frac{-3\sqrt[3]{(3-3)^2}}{\sqrt[3]{3+3}\left(\sqrt{3+13}+2\sqrt{3+1}\right)}=$

$= \frac{-3\sqrt[3]{0^2}}{\sqrt[3]{6}\left(\sqrt{16}+2\sqrt{4}\right)}= 0$