Задача Кузнецов Пределы 11-1

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 0} \frac{\ln \left(1+\sin{x} \right)}{\sin{4x}}$

Решение

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\sin {x} \sim x$, при $x \to 0$

$\sin {4x} \sim 4x$, при $x \to 0 (4x \to 0)$

$\ln {(1+x)} \sim x$, при $x \to 0$

Получаем:

$\lim_{x\to 0} \frac{\ln \left(1+\sin{x} \right)}{\sin{4x}} = \left\{\frac{0}{0}\right\} = \lim_{x\to 0} \frac{\ln \left(1+x \right)}{4x} = \left\{\frac{0}{0}\right\} =$

$= \lim_{x\to 0} \frac{x}{4x} = \lim_{x\to 0} \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$