Задача Кузнецов Пределы 11-13

У этой задачи может быть и другое условие (возможно из-за разных изданий или ошибки). Подробней см. 11-13(2)

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 0} \frac{9\ln(1-2x)}{4\operatorname{arctg}{3x}}$

Решение

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\ln(1-2x) \sim -2x$, при $x \to 0 (-2x \to 0)$

$\operatorname{arctg}{3x} \sim 3x$, при $x \to 0 (3x \to 0)$

Получаем:

$\lim_{x\to 0} \frac{9\ln(1-2x)}{4\operatorname{arctg}{3x}} = \left\{\frac{0}{0}\right\} = \lim_{x\to 0} \frac{9\cdot (-2x)}{4\cdot 3x} =$

$= \lim_{x\to 0} \frac{9\cdot (-2)}{4\cdot 3} = -\frac{3}{2}$