Задача Кузнецов Пределы 11-13(2)

У этой задачи может быть и другое условие (возможно из-за разных изданий или ошибки). Подробней см. 11-13(1)

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1-3x)}{\sqrt{8x+4}-{2}}$

Решение

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\ln(1-3x) \sim -3x$, при $x \to 0 (-3x \to 0)$

Получаем:

$\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1-3x)}{\sqrt{8x+4}-{2}} = \lim_{x\to 0} \frac{-3x}{\sqrt{8x+4}-{2}} =$

$= \lim_{x\to 0} \frac{-3x\left(\sqrt{8x+4}+{2}\right)}{\left(\sqrt{8x+4}-{2}\right)\left(\sqrt{8x+4}+{2}\right)} =$

$= \lim_{x\to 0} \frac{-3x\left(\sqrt{8x+4}+{2}\right)}{8x+4-4} = \lim_{x\to 0} \frac{-3x\left(\sqrt{8x+4}+{2}\right)}{8x} =$

$= \lim_{x\to 0} \frac{-3\left(\sqrt{8x+4}+{2}\right)}{8} = \frac{-3\left(\sqrt{8\cdot 0+4}+{2}\right)}{8} =$

$= \frac{-3\left(\sqrt{4}+{2}\right)}{8} = \frac{-3\cdot 4}{8} = -\frac{3}{2}$