Задача Кузнецов Пределы 11-19

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{\sin \left(\pi (x+2)\right)}$

Решение

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\sin {\pi x} \sim \pi x$, при $x \to 0 (\pi x \to 0)$

Получаем:

$\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{\sin \left(\pi (x+2)\right)} = \left\{\frac{0}{0}\right\} = \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{\sin \left(\pi x+2\pi\right)} =$

$=\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{\sin \left(\pi x\right)} =\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{\pi x} =$

$=\lim_{x\to 0} \frac{\left(\sqrt{1+x}-1\right)\left(\sqrt{1+x}+1\right)}{\pi x\left(\sqrt{1+x}+1\right)} =\lim_{x\to 0} \frac{1+x-1}{\pi x\left(\sqrt{1+x}+1\right)} =$

$=\lim_{x\to 0} \frac{x}{\pi x\left(\sqrt{1+x}+1\right)} =\lim_{x\to 0} \frac{1}{\pi\left(\sqrt{1+x}+1\right)}=$

$= \frac{1}{\pi\left(\sqrt{1+0}+1\right)}= \frac{1}{2\pi}$