Задача Кузнецов Пределы 11-22

У этой задачи может быть и другое условие (возможно из-за разных изданий или ошибки). Подробней см. 11-22(2)

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 0} \frac{\arcsin {2x}}{2^{-3x}-1}\cdot \ln {2}$

Решение

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\arcsin{2x} \sim 2x$, при $x \to 0 (2x \to 0)$

$e^{-3x\ln {2}} -1 \sim -3x\ln {2}$, при $x \to 0 (-3x\ln {2} \to 0)$

Получаем:

$\lim_{x\to 0} \frac{\arcsin {2x}}{2^{-3x}-1}\cdot \ln {2} = \left\{\frac{0}{0}\right\} = \lim_{x\to 0} \frac{2x}{\left(e^{\ln {2}}\right)^{-3x}-1}\cdot \ln {2} =$

$= \lim_{x\to 0} \frac{2x}{e^{-3x\ln {2}}-1}\cdot \ln {2} = \lim_{x\to 0} \frac{2x}{-3x\ln {2}}\cdot \ln {2} =$

$= \lim_{x\to 0} \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}$