Задача Кузнецов Пределы 11-22(2)

У этой задачи может быть и другое условие (возможно из-за разных изданий или ошибки). Подробней см. 11-22(1)

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 0} \frac{\arcsin {2x}}{\sin{3(x+\pi)}}$

Решение

$\lim_{x\to 0} \frac{\arcsin {2x}}{\sin{3(x+\pi)}} = \lim_{x\to 0} \frac{\arcsin {2x}}{\sin{(3x+3\pi)}} =$

$= \lim_{x\to 0} \frac{\arcsin {2x}}{\sin{(3x+\pi)}} = \lim_{x\to 0} \frac{\arcsin {2x}}{-\sin{3x}} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\arcsin{2x} \sim 2x$, при $x \to 0 (2x \to 0)$

$\sin{3x} \sim 3x$, при $x \to 0 (3x\to 0)$

Получаем:

$= \lim_{x\to 0} \frac{2x}{-3x} = \lim_{x\to 0} \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}$