Задача Кузнецов Пределы 11-24(2)

У этой задачи может быть и другое условие (возможно из-за разных изданий или ошибки). Подробней см. 11-24(1)

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 0} \frac{1+\cos{(x-\pi)}}{\left(e^{3x}-1\right)^2}$

Решение

$\lim_{x\to 0} \frac{1+\cos{(x-\pi)}}{\left(e^{3x}-1\right)^2} = \lim_{x\to 0} \frac{1+\cos{(\pi-x)}}{\left(e^{3x}-1\right)^2} =$

Воспользуемся формулой приведения:

$= \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos{x}}{\left(e^{3x}-1\right)^2} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$1 - \cos{x} \sim \frac{x^2}{2}$, при $x \to 0$

$e^{3x} -1 \sim 3x$, при $x \to 0 (3x \to 0)$

Получаем:

$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos{x}}{\left(e^{3x}-1\right)^2} = \left\{\frac{0}{0}\right\} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{(3x)^2} =$

$= \lim_{x\to 0} \frac{1}{2\cdot 3^2} = \frac{1}{18}$